Dérivée d'une fonction

1 - Nombre dérivée d'une fonction en a

Nous allons utiliser la notion de limite pour montrer la dérivabilité d'une fonction, ainsi que pour trouver son nombre dérivé.

Définition

Nombre dérivée d'une fonction en un point

Soit f une fonction définie en a et h ∈ .
La fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre D appartenant à tel que :



Ce nombre D, s'il existe, est appelé nombre dérivé de f en a et on le note :

D = f '(a)

Remarque

Vous préférerez mieux la formule ainsi :

J'ai poser x = a + h.

J'explique tout de suite, avant même que vous n'aillez le temps de poser votre question.
Ce n'est en fait que une simple formule. Oui bon, une formule, que je vais décortiquer avec vous.
On veut savoir si la fonction f est dérivable en un point a et si oui, calculer sa dérivée en ce point. On va procéder de la façon suivante :

• On calcule f(a) en remplaçant la variable de la fonction par a,


• On trouve la différence f(x) - f(a),


• Cette différence prend le dénominateur (x - a),
  
• Enfin, on fait tendre le x de la quantité obtenue vers la valeur de a.

Voici un exemple.

Exemple

La fonction f(x) = x² est dérivable en 5 et son nombre dérivé vaut 10.
En effet :



On calcule la limite en 5 de la quantité obtenue :



Donc, la fonction carrée est dérivable en 5 et f '(5) = 10.

Remarque importante

2 - Fonction dérivée

Nous avons vu que la notion de nombre dérivé en un point a faisait intervenir un réel f'(a). Il existe en effet une fonction dérivée que je vais vous définir maintenant.

Définition

Fonction dérivée

Soit f une fonction dérivable et définie sur un intervalle I.
On appelle fonction dérivée la fonction qui à chaque réel x de I associe son nombre dérivée.
On la note f ' :

3 - Dérivées usuelles

Enfin, nous rentrons dans le vif du sujet. Nous allons pouvoir calculer des dérivées grâce aux dérivées usuelles du tableau suivant.

4 - Opérations sur les dérivées

Cette partie est obligatoire si nous voulons calculer des dérivées.

Propriétés

Opérations sur les dérivées

Soient u et v deux fonctions dérivables et définies sur un même intervalle I et k un réel.

Résumons :

Nous avons à présent tous les outils nécessaires pour calculer des dérivées. Alors c'est parti !

Exemples

Voici un certains nombre d'exemples à bien comprendre. La dérivée de la fonction f définie sur par f(x) = x + 2 est f'(x) = 1.
En effet :

f'(x) = (x¹)' + (2)' = 1x⁰ + 0 = 1

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. De plus, x = x¹, donc on la dérivé de x est : x' = 1x⁰ = 1 car tout nombre à la puissance 0 vaut 1.

La dérivée de la fonction g définie sur par g(x) = 2x² - x + 3 est g'(x) = 4x - 1.
En effet :

g'(x) = 2 × (x²)' - (x)' + (3)' = 2 × 2(x¹) - 1 = 4x - 1

La dérivée de est ()' = 2x et donc la dérivée de 2 est (2)' = 2 × 2x = 4x.

La dérivée de la fonction h définie sur - {0} par est .
En effet, on applique d'abord la formule :



On calcule les dérivées,



On développe tout ça.



On calcule le numérateur en faisant attention de changer les signes de la seconde parenthèse à cause du signe -,



Voilà.

5 - Variations d'une fonction

Je vous avait dit que la dérivée d'une fonction allait nous aider à l'étude de ses variations, vous rappelez-vous ?

Théorème

Remarque

L'exemple suivant est très important. Il résume tout jusqu'ici. Vous devez savoir le reproduire les yeux fermés !

Exemple

Nous allons étudier la fonction f définie par :

• Domaine de définition : La fonction f est définie sur - {-2}, car -2 est la valeur interdite.


• Dérivée :
  
  
  


• Tableau de variations : Le dénominateur, étant un carré, est toujours positif. On va donc se préoccuper du signe de numérateur pour déterminer les variations de f.
  Les variations d'un polynôme du second degré, nous avons justement vu cela au chapitre précédent.
  Soit le polynôme P(x) = x² + 4x - 5. Calculons Δ = b² - 4ac :
  
  Δ = 4² - 4 × 1 × (-5) = 16 + 20 = 36 > 0
  Donc le polynôme P(x) admet deux racines distinctes :
  
  
  
  
  Le polynôme P(x) est du signe de a, donc positif si x ∈ ]-∞ ; -5[ U ]1 ; +∞[ et négatif si x ∈ ]-5 ; 1[.
  
  On peut à présent dresser le tableau de variation.
  
  La première ligne désigne les valeurs de x. Il ne faut pas oublier la valeur interdite.
  Dans la seconde, on met la dérivée et ses signes en fonction justement des valeurs de x.
  Dans la troisième et dernière ligne, on met les variations de la fonction f.
  On aura besoin des valeurs de f(-5) et f(1), calculons-les.
  
  
  
  Voici donc le fameux tableau de variations.
  
  


• Représentation graphique : Vous savez faire.
  
  
  
  Fin de l'étude.

6 - Extremum d'une fonction

La dérivée d'une fonction nous donne aussi ses extremum.

Propriété

Exemple

Soit la fonction f(x) = x² - 4x + 1 définie sur .
Calculons sa dérivée.

f'(x) = (x²)' - 4(x)' + (1)' = 2x - 4

La dérivée s'annule pour :

f'(x) = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2

Donc, la fonction f admet un extrema en x = 2.

Comment sait-on si se sont des minimum ou des maximum ?

Si la fonction est croissante puis décroissante, c'est le maximum.
Si la fonction est décroissante puis croissante, c'est le minimum.

Ici, la fonction est décroissante jusque x = 2 puis croissante. Donc, f(2) est le minimum de la fonction f car pour tout x réel f(x) ≥ f(2).
Cela se voit très bien sur la courbe de la fonction.

Remarque importante