Déterminer la position relative d'une courbe et de sa tangente

Soit la fonction f définie sur R par :

∀ x ∈ R, f(x) = x³ - 2x² + x - 4

Appelons C_f la courbe représentative de la fonction f et T sa tangente au point d'abscisse 0 d'équation y = x - 4.

Nous allons déterminer ensemble la position relative de C_f et de T.

Rappeler l'équation de la tangente

Toujours commencer par rappeler l'équation d'une tangente avant de démarrer dans démonstration.

On sait donc qu'une équation de la tangente à C_f (la courbe représentative de f) au point d'abscisse a est :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Coup de chance, dans cet exercice, on nous donne l'équation de la tangente T qui est y = x - 4. Dans le cas contraire, on doit la déterminer.

Bon, maintenant que nous avons l'équation de la tangente T, pour étudier la position relative de C_f et de T:y = ax + b, on doit étudier le signe de f(x) - (ax + b), c'est-à-dire de f(x) - (x - 4).

Calculer f(x) - (ax + b)

On calcule dans un premier temps f(x) - (x - 4) et on simplifie au maximum afin d'obtenir une expression dont il est facile de déterminer le signe.

Pour tout réel x :

f(x) - (x - 4) = x³ - 2x² + x - 4 - x + 4
f(x) - (x - 4) = x³ - 2x²

Il faut à présent factoriser l'expression pour pouvoir ensuite étudier son signe :

f(x) - (x - 4) = x²(x - 2)

Étudier le signe de f(x) - (ax + b)

On étudie maintenant le signe de f(x) - (x - 4) en fonction des valeurs de x. On peut utiliser un tableau de signes en cas d'expression compliquée.

• Pour tout réel x, x² ≥ 0
• x - 2 > 0 ⇔ x > 2

On en déduit le tableau de signes suivant :

Conclure sur la position relative

On conclut sur la position relative, en trois points.

Je vous rappelle d'abord le cours pour déterminer la position relative d'une courbe et de sa tangente en un point :

• Sur les intervalles où f(x) - (ax + b) > 0, C_f est au-dessus de T.
• Sur les intervalles où f(x) - (ax + b) < 0, C_f est en dessous de T.
• Lorsque f(x) - (ax + b) = 0, C_f et T ont un point d'intersection (c'est le cas notamment pour le point de tangence).

Ce qui nous donne dans cet exemple :

• C_f est au-dessus de T sur ]2; +∞[.
• C_f est en dessous de T sur ]-∞; 2[.
• C_f et T se coupent au point d'abscisse 2 et ont un point de tangence au point d'abscisse 0.