Donner une équation d'une tangente à la courbe d'une fonction dérivable

Soit la fonction f définie sur l'ensemble des réels par :

∀ x ∈ R, x = 2f(x)² + 3x - 1

On appelle C_f sa courbe représentative.

L'objectif de cet exercice est de déterminer une équation de la tangente (T) à C_f au point d'abscisse x = 2.

Donner la formule de l'équation de tangente

Il faut toujours commencer une démonstration par rappeler la définition : la tangente à C_f au point d'abscisse a admet pour équation :

y = f'(a)(x ? a) + f(a)

Appliquons-la à notre cas précis.

La tangente à la courbe C_f de la fonction f au point d'abscisse 2 admet pour équation :

y = f?(2)(x ? 2) + f(2)

Déterminer f(a) avec a = 2

Maintenant il va falloir déterminer les différents termes de l'expression précédente, à savoir f(a) et sa dérivée f'(a).

Commençons par f(a). À partir de l'expression de f, on calcule f(1) comme ceci :

f(2) = 2 × (2)² + 3 × 2 - 1 = 2 × 4 + 6 - 1 = 8 + 6 - 1 = 13

Déterminer f'(a) avec a = 2

Deux cas peuvent se présenter : soit l'expression de f'(x) est connue, soit elle ne l'est pas et auquel cas il faudra la calculer.

Cas 1 : Une expression de f'(x) est connue

On aura juste à calculer la valeur de f'(2) en remplaçant x par la valeur de a dans l'expression de f'.

Cas 2 : Aucune expression de f'(x) n'est connue

On calcule donc f'(x) pour ensuite pouvoir calculer f'(2).

La fonction f est dérivable sur R en tant que fonction polynôme.

Du coup, on peut la dériver en utilisant les dérivées usuelles :

∀ x ∈ R, f?(x) = (2 × 2)x + 3 = 4x + 3

On en déduit facilement la valeur de f'(2) :

f?(2) = 4 × 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Appliquer la formule de l'équation de la tangente en un point d'une courbe

On a plus qu'à remplacer, dans l'équation précédente de la tangente, f'(2) = 11 et f(2) = 13, par leurs valeurs respectives que l'on vient de trouver. On simplifie ensuite l'expression.

On obtiendra tout simplement une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 2.

Reprenons : on sait que la tangente a pour équation :

(T) : y = 11(x - 2) + 13 = 11x - 22 + 13 = 11x - 9

Donc, une équation de la tangente (T) à C_f au point d'abscisse x = 1 est :

(T) : 11x - 9