Déterminer si un point appartient à une droite

On considère une droite (d) d'équation cartésienne 2x - y + 1 = 0.

Déterminer si A(0; 1) et B(1; -3) appartiennent à (d).

Rappeler la propriété du cours

Commençons toujours par rappeler qu'un point M(x; y) appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation de la droite.

Les points A et B appartiennent à la droite si et seulement si leurs coordonnées vérifient l'équation 2x - y + 1 = 0.

Donner les coordonnées du point et une équation de la droite

L'énonce nous donne :

• L'équation cartésienne de la droite : (d) a pour équation cartésienne 2x - y + 1 = 0,
• Les coordonnées des points dont il faut vérifier l'appartenance à la droite : A(1;7) et B(-1;1).

Calculons en remplaçant dans l'équation de la droite les coordonnées des points

Vérifions à présent si le point A appartient à la droite (d)

Remplaçons les coordonnées de A(0; 1) dans l'équation de (d) :

2x_A - y_A + 1 = 2 × 0 - 1 + 1 = 0

Les coordonnées de A vérifient l'équation de la droite. Donc, le point A appartient à la droite (d).

Vérifions si le point B appartient à la droite (d)

On remplace les coordonnées de B(1; -3) dans l'équation de (d) :

2x_B - y_B + 1 = 2 × 1 - (-3) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 ≠ 0

Les coordonnées de B ne vérifient pas l'équation de la droite. Ce point n'appartient donc pas à la droite (d).

Conclure

On sait que :

• Si ax_M + by_M + c = 0, alors M ∈ (d).
• Si ax_M + by_M + c ≠ 0, alors M n'appartient pas (d).

Donc : A ∈ (d) et B n'appartient pas à la droite (d).