Un cours de maths fondamental en 1ère S : les théorèmes de comparaison. Il y en a deux à connaître et à comprendre : le théorème des gendarmes et les critères de divergence.
Nous allons attaquer les théorèmes de comparaison qui vont nous aider à montrer la convergence ou la divergence d'une suite.
Cette partie est très importante, concentrez-vous bien.
Dans les théorèmes que je vais vous énoncer, il y a beaucoup de conditions pré-requises. Si une d'entre elles manquent, le théorème ne peut être appliqué.
1 - Théorème des gendarmes
On débute par le critère de comparaison, appelé le théorème des gendarmes, vous comprendrez pourquoi.
Théorème
Théorème des gendarmes
Soient un, vn et wn trois suites numériques telles que un et wn convergent vers L.Si un ≤ vn ≤ wn à partir d'un certain rang, alors la suite vn converge vers L.
Une conséquente immédiate de ce résultat est le suivant :
Théorème
Convergence et théorème des gendarmes
Si à partir d'un certain rang on a |un - L| ≤ vn avec , alors la suite un converge vers L.Je vais vous appliquer ce théorème très puissant sur un exemple afin que vous saisissiez absolument tout.
Exemple
En effet : on sait que :
C'est la propriété fondamentale de trigonométrie. Si par malheur vous ne la connaissiez pas, je vous aurais arraché la tête ! Continuons...
On va diviser par n tous les membres de l'inégalité.
On a donc trois suites : .
Or,
On a toutes les conditions pour appliquer le théorème des gendarme.
Conclusion, la suite converge vers 0.
2 - Critère de divergence
La divergence à présent.
Théorème
Critère de divergence
Soient un et vn deux suites numériques telles que un ≤ vn à partir d'un certain rang.
Cela se comprend assez bien.
Si la limite de la suite un est +∞ et que la suite vn est plus grande que la suite un, alors la limite de vn sera plus grande que celle de un. Plus grand que +∞ cela ne peut être que +∞.
Si la limite de la suite vn est -∞ et que la suite un est plus petite que la suite vn, alors la limite de un sera plus petite que celle de vn. Plus petit que -∞ cela ne peut être que -∞.
Exemple
En effet, on a :
On multiple l'inégalité par n² (positif, donc ne change aucun signe),
Or :
Donc :
Quelques exercices sur Théorèmes de comparaison :