Dans ce cours méthode, je vous explique comment déterminer le signe d'un polynôme du second degré en utilisant son discriminant et les propriétés du cours sur les trinômes.
Soit le polynôme du second degré suivant :
Déterminer le signe du polynôme P.
Identifier a, b et c
Commençons tout d'abord par identifier a, b et c dans le polynôme P tels que P(x) = ax² + bx + c
Cela se trouve facilement :
- a = 1
- b = -3
- c = 2
Calculer le discriminant du polynôme
Vous vous rappeler de la formule du discriminant Δ ? C'est la suivante :
A présent, calculons-le dans l'exemple proposé.
Δ = 9 - 8
Δ = 1
Rappelons la propriété du discriminant d'un polynôme du second degré
Soit le polynôme P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) et Δ son discriminant.- Si Δ < 0, alors le trinôme est du signe de a (il ne s'annule jamais).
- Si Δ = 0, le trinôme est du signe de a et s'annule en :
. - Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervale délimité par les racines :
, et du signe de -a à l'intérieur. - P(x) > 0 si x ∈ ]-∞; 1[U]2; +∞[,
- P(x) < 0 si x ∈ ]1; 2[.
Dans notre cas, Δ = 1 > 0
Calcul des racines de Δ
Les deux racines sont :
Après calcul, on trouve :
x2 = 2
Conclure sur le signe du polynôme
Du coup :