Voici un cours sur la forme canonique d'un polynôme du second degré. Je vous donne la formule à apprendre par coeur et sa démonstration, à savoir reproduire.
Et alors ? Je vais vous montrer comment trouver la forme canonique d'une expression. Suivez bien mon raisonnement, il est important que vous le compreniez.
On part du polynôme P:
On factorise ce polynôme par a.
Par a? Mais il n'est pas en facteur partout ! Comment je fais ?
Là où le a n'est pas en facteur apparant, vous diviserez par a tout simplement. Regardez :
![polynôme du second degré](/images_cours/1S_2_7.png)
Vous voyez bien qu'en développant on retombe sur l'expression du départ.
Continuons. On ne va se préoccuper que de la partie
![second degré](/images_cours/1S_2_8.png)
![forme canonique d'un polynôme](/images_cours/1S_2_11.png)
On doit enlever
![forme canonique](/images_cours/1S_2_12.png)
![démonstration forme canonique](/images_cours/1S_2_13.png)
Et nous nous ne voulons que
![polynôme](/images_cours/1S_2_8.png)
![second degré en 1ère ES](/images_cours/1S_2_12.png)
Ce qui nous donne :
![](/images_cours/1S_2_14.png)
Mettons sous le même dénominateur les deux dernière fractions.
![méthode du discriminant](/images_cours/1S_2_15.png)
On note Δ la quantité
![](/images_cours/1S_2_16.png)
Et on a fini :
![forme canonique d'un polynôme du second degré](/images_cours/1S_2_18.png)
Résumons tout ça.
Propriété
Forme canonique d'un polynôme
Soit P(x) = ax² + bx + c un polynôme du second degré avec a ≠ 0.On appelle forme canonique de P :
![formule de la forme canonique](/images_cours/forme-canonique-polynome.png)
Avec Δ le discriminant de P :
Exemple
Soit le polynôme P(x) = x² + 2x - 1. Donner sa forme canonique.
On a donc ici : a = 1, b = 2 et c = -1.
On applique tout bêtement la formule :
On a :
Δ = 2² - 4 × 1 × (-1) = 8
Calculons donc la forme canonique.
![](/images_cours/1S_2_22.png)
On a terminé.
On a donc ici : a = 1, b = 2 et c = -1.
On applique tout bêtement la formule :
On a :
Calculons donc la forme canonique.
![](/images_cours/1S_2_22.png)
On a terminé.
Bien évidemment, on pourrez vous demandez de refaire le raisonnement précédent.
Quelques exercices sur Forme canonique d'un polynôme du second degré :