Généralités sur les polynômes

Commençons ce cours de 1ère S sur les généralités sur les polynômes : la définition d'un polynôme, un exemple et le théorème fondamental.

Tout d'abord : Qu'es ce qu'un polynôme ?

Définitions

Polynôme

Un polynôme non nul de degré n est une fonction définie sur ℝ comme suit :

P(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + … + a₁x + a₀

Avec a₀, a₁, …, a_n des réels et a_n ≠ 0.
On dit que α est racine du polynôme P si : P(α) = 0.

Si on remplace l'inconnue d'un polynôme par sa racine, on annule ce polynôme.

Exemple

Le polynôme x³ + x² - 2 et un polynôme de degré 3 ayant pour racine 1 car :

1³ + 1² - 2 = 0

Les définitions maintenant posées, je vais vous donner un premier théorème sur les polynômes.

Théorème

Théorème sur les polynômes

Soit P un polynôme non nul de degré n et α un réel.
Si α est racine du polynôme P, alors il existe un polynôme Q(x) tel que :

P(x) = (x - α) × Q(x)

Si on a α une racine d'un polynôme, c'est qu'on peut le factoriser par (x - α), voilà ce que cela veut dire.