Cours

Variables aléatoires

Cours de maths première S

Dans ce cours sur les variables aléatoires, je vais vous apprendre des formules importantes en probabilités : l'espérance, la variance et l'écart-type. Ces mots ne vous sont pas inconnus ? Normal, vous les avez déjà utilisé en statistiques durant les années précédentes. On commence ?

Définition d'une variable aléatoire

Commençons donc par la définition d'une variable aléatoire.

Définition

Variable aléatoire

 Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire.

Loi de probabilité

Et la loi de probabilité maintenant. Vous verrez, vous connaissez déjà.

Propriété

Loi de probabilité

 Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs :

X(Ω) = x1; x2; ...; xn


La loi de probabilité de X associe à chaque réel xn la probabilité P(X = xn).

Exemple

On tire au hazard une carte dans un jeu de 32 cartes.
L'univers est l'ensemble des 32 cartes.
On définit la variable aléatoire X : tirer un As rapporte 10, tirer une figure rapporte et tirer une autre carte ne rapporte rien.

Les valeurs prises par la variable aléatoire sont : 0; 1; 10, c'est-à-dire :

X(Ω) = {0; 1; 10}


On a alors :

{X = 10} = {As de ♥; As de ♦; As de ♣; As de ♠}
{X = 1} = {toutes les figures}
{X = 0} = {toutes les cartes sauf les As et les figures}

En probabilités, cela donne :

P({X = 10}) = 4/32 = 1/8
P({X = 1}) = 12/32 = 3/8
P({X = 0}) = 16/32 = 1/2

On représente généralement une loi de probabilité dans un tableau, comme ceci :

xn 0 1 10
P({X = xn}) 1/2 3/8 1/8

Espérance

Définissons à présent l'espérance d'une variable aléatoire.

Définition

Espérance

 L'espérance d'une variable aléatoire X est le réel :

espérance


Sans le symbole de somme, cela donne ceci :

E(X) = x1P(X = x1) + x2P(X = x2) + ... + xnP(X = xn)


Petite propriété en plus.

Propriété

Propriété de l'espérance

 Pour tous réels a et b :
E(aX + b) = aE(X) + b

Variance

La variance.

Définition

Variance

 La variance d'une variable aléatoire X est le réel :

variance

En fait, l'expression de la variance est celle-ci :

V(X) = [x1 - E(X)]²P(X = x1) + [x2 - E(X)]²P(X = x2) + ... + [xn-E(X)]²P(X = xn)


Donc, avant de pouvoir calculer la variance d'une variable aléatoire, il va falloir calculer son espérance.

Propriété

Propriété de la variance

 Pour tous réels a et b :
V(aX + b) = a²V(X)

Ca peut toujours servir...

Ecart-type

Une dernière petite définition, celle de l'écart-type.

Définition

Ecart-type

 L'écart-type d'une variable aléatoire X est le réel :
σ(X) = √V(X)

Donc, avant de pouvoir calculer l'écart-type d'une variable aléatoire, il va falloir calculer sa variance après avoir préalablement calculer son espérance.


Quelques exercices sur Variables aléatoires :