On commence avec des rappels de statistiques. Parmi eux : le vocabulaire de base, la formule de la moyenne, la médiane, le tout illustré de plusieurs exemples pour mieux vous rafraichir la mémoire.
Dans cette première partie, nous allons revoir les notions de base de statistiques, les langages et les premiers calculs. Rien de bien méchant.
1 - Rappels de base et langage statistique
On commence par un tableau qui rappelle de cours de statistiques de seconde. Oui oui, se sont des rappels.
| En langage statistique | En langage mathémariques | En langage courant |
|---|---|---|
| Population | Ensemble P | Ensemble des objets, des individus, mesures étudiées |
| Individu | Element de P | Objet, individu, mesure |
| Caractère Caractère quantitatif Caractère qualitatif |
Application f f : P → R f : P → A (A non réel) |
Aspect des objets étudiés Les données sont numériques Les données ne sont pas numériques |
| Modalité Caractère quantitatif discret Caractère quantitatif continu |
Image par f des éléments de P f(P) sont des valeurs isolées f(P) est un intervalle |
Valeurs que peut prendre le caractère Valeurs isolées que l'on peut dénombrer Toute valeur d'un intervalle |
| Classe | Partie de l'ensemble des modalités | Regrouper des modalités |
| Effectif Effectif total Effectif cumulé croissant |
ni N = n1 + n2 + ... + nk n1 + n2 + ... + np |
Nombre d'individu ayant la même modalité Nombre total d'objets Somme des effectifs |
| Mode Caractère discret Mode Caractère continu Classe modale Mode |
Valeur du plus grand effectif Valeur du plus grand effectif Centre de la classe modale |
|
| Fréquence | F = ni/N | Rapport : effectif d'une valeur par effectif total |
| Etendue | Différence entre les valeurs extrêmes |
2 - Médiane
Pas mal de rappels déjà. On continue avec la définition de la médiane.
Définition
Médiane
La médiane est la valeur du caractère qui permet de partager la population N en deux groupes de même effectifs. On distingue deux cas : celui d'un caractère quantitatif discret et celui d'un caractère quantitatif continu.Cas d'un caractère quantitatif discret :
- Si N est impair : la médiane est la valeur du caractère observé au rang (N+1)/2.
- Si N est pair : la médiane n'est pas définie, mais on convient de prendre pour médiane la moyenne des caractères observés au rang N/2 et (N/2) + 1.
Je vais vous donner un exemple simple du cas d'un caractère quantitatif discret.
Exemple
Les notes d'un élève de première sont les suivantes : 3, 5, 12, 14 et 18.
On dénombre cinq notes distinctes, donc un nombre impair de notes.
La médiane est donc la valeur du rang 3. En effet, on applique bêtement la formule précédente :
D'où : la médiane est 12.
Maintenant, si l'on rajoute la note de 15 à l'élève. On aurait donc les notes suivantes : 3, 5, 12, 14, 15 et 18.
La on est dans le cas d'un nombre de notes pair. On va prendre la moyenne des rang N/2, soit 12, et (N/2) + 1, soit 14. Ce qui nous donne :
La médiane est donc 13.
On dénombre cinq notes distinctes, donc un nombre impair de notes.
La médiane est donc la valeur du rang 3. En effet, on applique bêtement la formule précédente :
D'où : la médiane est 12.
Maintenant, si l'on rajoute la note de 15 à l'élève. On aurait donc les notes suivantes : 3, 5, 12, 14, 15 et 18.
La on est dans le cas d'un nombre de notes pair. On va prendre la moyenne des rang N/2, soit 12, et (N/2) + 1, soit 14. Ce qui nous donne :
La médiane est donc 13.
3 - Moyenne arithmétique pondérée
Une petite définition pour commencer.
Définition
Moyenne arithmétique pondérée
La moyenne arithmétique pondérée, que l'on note
, est donnée par la formule suivante :
Avec N = n1 + n2 + ... + nk et ni l'effectif de la valeur xi.
4 - Exemples
Bon, maintenant on va s'exercer un peu sur des exemples pour bien clarifier toutes les notions que l'on vient d'aborder.
Voici donc deux exemples complets à savoir faire et refaire.
Exemple
Etude d'une série statistique à caractère discret :
Dans une classe de 25 élèves de première, les résultats à un contrôle de mathématiques sont les suivants :
7; 9; 15; 11; 10; 10; 16; 7; 8; 14; 15; 9; 10; 10; 14; 15; 18; 12; 8; 14; 8; 8; 10; 11; 15.
Alors, déjà, quelle est la population, le caractère et les valeurs prises par ce dernier ?
...
Eh bien, allez-y ? Vous connaissez la réponse, j'en suis sûr !
Bon, je vous aide.
La population est l'ensemble des contrôles de mathématiques.
Le caractère étudié est la note obtenue par chaque élève de première de cette classe.
Les valeurs prises par le caractères sont les entiers compris entre 7 et 18 (les valeurs des notes quoi).
On va résumer les notes dans l'ordre croissante, l'effectif, l'effectif cumulé et la fréquence dans un tableau :
Normalement, si vous avez bien compris et bien appris toutes les formules précédentes, vous saurez sans aucun problème retrouver toutes les valeurs de ce tableau.
Je l'explique un peu quand même.
La première ligne correspond aux notes des élèves au contrôle de maths. Ca, pas de problème je pense.
La deuxième ligne correspond au nombre de chacune des notes. Par exemple, 2 personnes ont obtenu 7 au contrôle, 4 ont eut 8, etc.
La troisième ligne, c'est la même chose, sauf qu'on compte cette fois-ci combien de personne au eut la note ou moins, soit : 8 personnes ont eut 9 ou moins, etc. On retombe bien sur le nombre total d'élèves, à savoir 25, à la fin.
La dernière ligne, c'est la fréquence. Vous avez la formule un peu plus haut. Pas besoin de réexpliquer.
Calculons maintenant l'étendue, le mode et la médiane.
Calcul de l'étendue : Je vous rappelle que l'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale, soit ici 11 : 18 - 7 = 11.
Calcul du mode : C'est la valeur qui correspond au plus grand effectif, c'est-à-dire ici la note qui a été obtenue par le plus d'élève. Il s'agit de... 10 ! Oui, 10, obtenue par cinq élèves.
Calcul de la médiane : On a un nombre impair de notes, donc on applique la formule suivante :
La médiane est donc la note obtenue par le 13ème élève. C'est là que va nous service la ligne des effectifs cumulés.
On lit aisément que le 13ème élève a eut 10 à son contrôle de maths, la médiane est donc ici de 10.
Dans une classe de 25 élèves de première, les résultats à un contrôle de mathématiques sont les suivants :
Alors, déjà, quelle est la population, le caractère et les valeurs prises par ce dernier ?
...
Eh bien, allez-y ? Vous connaissez la réponse, j'en suis sûr !
Bon, je vous aide.
La population est l'ensemble des contrôles de mathématiques.
Le caractère étudié est la note obtenue par chaque élève de première de cette classe.
Les valeurs prises par le caractères sont les entiers compris entre 7 et 18 (les valeurs des notes quoi).
On va résumer les notes dans l'ordre croissante, l'effectif, l'effectif cumulé et la fréquence dans un tableau :
Normalement, si vous avez bien compris et bien appris toutes les formules précédentes, vous saurez sans aucun problème retrouver toutes les valeurs de ce tableau.
Je l'explique un peu quand même.
La première ligne correspond aux notes des élèves au contrôle de maths. Ca, pas de problème je pense.
La deuxième ligne correspond au nombre de chacune des notes. Par exemple, 2 personnes ont obtenu 7 au contrôle, 4 ont eut 8, etc.
La troisième ligne, c'est la même chose, sauf qu'on compte cette fois-ci combien de personne au eut la note ou moins, soit : 8 personnes ont eut 9 ou moins, etc. On retombe bien sur le nombre total d'élèves, à savoir 25, à la fin.
La dernière ligne, c'est la fréquence. Vous avez la formule un peu plus haut. Pas besoin de réexpliquer.
Calculons maintenant l'étendue, le mode et la médiane.
Calcul de l'étendue : Je vous rappelle que l'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale, soit ici 11 : 18 - 7 = 11.
Calcul du mode : C'est la valeur qui correspond au plus grand effectif, c'est-à-dire ici la note qui a été obtenue par le plus d'élève. Il s'agit de... 10 ! Oui, 10, obtenue par cinq élèves.
Calcul de la médiane : On a un nombre impair de notes, donc on applique la formule suivante :
La médiane est donc la note obtenue par le 13ème élève. C'est là que va nous service la ligne des effectifs cumulés.
On lit aisément que le 13ème élève a eut 10 à son contrôle de maths, la médiane est donc ici de 10.
Exemple
Etude d'une série statistique à caractère continu :
Dans un lycée, nous avons relevé la taille des élèves et les avons regroupées dans le tableau suivant :
On va calculer, ensemble (oui, je ne vous lâche pas, ne vous inquietez pas) :
Alors, pas de temps à perdre, on y va de suite. Je ne rappelle pas à chaque fois les formules pour gagner du temps.
Calcul de l'étendue : 200 - 150 = 50.
Calcul de la classe modale : [165; 170[.
Calcul du mode : C'est le centre de la classe modale, soit : 167,5.
Calcul de la médiane : Rappelons simplement que dans une série statistique à caractère continu, la médiane est la valeur qui correspond à une fréquence de 0,5. Vous avez compris ce que cela veut dire ? On est obligé de calculer les fréquences oui. Allons-y. Je les ai regroupé dans le tableau suivant :
Puis on construit la courbe des fréquences cumulées.
Après lecture graphique, on détermine facilement la médiane qui vaut 169cm.
Calcul de la moyenne : on termine par le plus simple :
La moyenne est donc de 170,66cm.
Dans un lycée, nous avons relevé la taille des élèves et les avons regroupées dans le tableau suivant :
On va calculer, ensemble (oui, je ne vous lâche pas, ne vous inquietez pas) :
- L'étendue,
- La classe modale,
- Le mode,
- La médiane,
- La moyenne.
Alors, pas de temps à perdre, on y va de suite. Je ne rappelle pas à chaque fois les formules pour gagner du temps.
Calcul de l'étendue : 200 - 150 = 50.
Calcul de la classe modale : [165; 170[.
Calcul du mode : C'est le centre de la classe modale, soit : 167,5.
Calcul de la médiane : Rappelons simplement que dans une série statistique à caractère continu, la médiane est la valeur qui correspond à une fréquence de 0,5. Vous avez compris ce que cela veut dire ? On est obligé de calculer les fréquences oui. Allons-y. Je les ai regroupé dans le tableau suivant :
Puis on construit la courbe des fréquences cumulées.
Après lecture graphique, on détermine facilement la médiane qui vaut 169cm.
Calcul de la moyenne : on termine par le plus simple :
La moyenne est donc de 170,66cm.
Quelques exercices sur Rappels de statistiques :