Voici un cours sur les suites géométriques dans lequel je vous explique tout sur ces suites : définition, propriétés et formule pour calculer la somme des termes.
Une autre catégorie de suite à présent, les suites dites géométriques.
Définition
Suite géométrique
On appelle suite géométrique de premier terme u0 et de raison q la suite définie par :
Puis-je avoir une définition concrète pour cette catégorie de suite aussi s'il-vous-plaît ?
Si c'est demander si poliment.
Exemple
Cette suite est une suite géométrique de raison 2.
Si l'on calcule les cinq premiers termes de cette suite,
u1 = 2 × u0 = 2 × 4 = 8
u2 = 2 × u1 = 2 × 8 = 16
u3 = 2 × u2 = 2 × 16 = 32
u4 = 2 × u3 = 2 × 32 = 64
Que remarquez-vous ici ?
Le quotient de deux termes consécutifs est constant et égal à la raison 2. On multiplie de 2 à chaque un suivant.
Il existe aussi des propriétés pour calculer le 1000ème terme sans passer par les 1000 premiers.
Propriétés
Propriétés des suites géométriques
- Si u est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors :
un = u0 qn - Si u est une suite géométrique, alors pour tout n ≥ p,
un = up qn - p
Exemple
Ou en utilisant la deuxième :
Il y a également une formule pour calculer la somme de tous les termes d'une suite géométrique. La voici.
Propriété
Somme des termes d'une suite géométrique
Soit u une suite géométrique.La somme des termes de cette suite est donnée par :
Vous pouvez aussi réutilisez directement cette formule. Mais il faut que vous la compreniez aussi bien que la précédente pour les suites arithmétiques.
Exemple
Cette suite est géométrique de raison 1/3.
Calculons la somme des 100 premiers termes de cette suite.
La quantité est tellement réduite que .
On peux vous demander de calculer la somme de tous les termes de la suite un en fonction de n. C'est pareil, sauf qu'on laisse le n tel quel.
Remarque
Dans ce cas, Il suffit de montrer qu'il existe q ∈ * tel que vn + 1 = qvn.
Je vais vous donner un exemple pour vous montrer les directives à suivre.
Exemple
Nous allons montrer que la suite vn = un - 3 est géométrique.
Il suffit donc de montrer qu'il existe q ∈ * tel que vn + 1 = qvn.
On part toujours de vn + 1,
On a utilisé la formule vn + 1 = un + 1 - 1 et remplacé les n par des n + 1.
Or :
Donc :
Conclusion : vn est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme :
On peut alors écrire la chose suivante :
Quelques exercices sur Suite géométrique :