Fonction affine et équation de droite

Un bref rappel sur les fonctions affines, que vous devez déjà bien connaître sur le bout des doigts.

Définition

Et maintenant, un rappel aussi mais qui est très important pour la suite.

Définitions

Equation de droite

Soit et une fonction affine f(x) = ax + b définie sur .
On appelle la droite la représentation graphique de cette fonction f, de coefficient directeur a passant par le point b de coordonnées (0 ; b) dans le repère .

• a s'appelle le coefficient directeur de la droite,
• b s'appelle l'ordonnée à l'origine de la droite,
• La droite d'équation y = ax + b est appelée équation réduite de la droite .

Exemple

Tracer la droite d'équation 4y - x = 2.

On veut une droite de la forme y = ax + b.



On a le point A(0; f(0 = 1/2)).
On prend un second point, par exemple pour x = 1 :



On a donc le point B(1; 3/4).
On place ces deux points dans le repère . En les reliant, on a alors la droite d'équation 4y - x = 2.

C'est possible dans l'autre sens ? Je veux dire, peut-on trouver une équation de droite en connaissant deux points de celle-ci ?

Oui, bien évidemment.

Soient deux points A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B).
L'équation de la droite est toujours de la forme : y = ax + b.
Le coefficient directeur de cette droite est :

Définition

Coefficient directeur

A partir de là, on pourra déterminer l'ordonné à l'origine (le b) en résolvant tout simplement l'équation : y_A = ax_A + b (ou bien l'équation y_B = ax_B + b).

Exemple

Quelle est l'équation de la droite passant par A(5; -2) et B(-1; 3) ?.

L'équation de la droite est de la forme : y = ax + b.
Le coefficient directeur de cette droite est :



Maintenant qu'on a le a, on peut retrouver facilement le b.



L'équation de la droite passant par A(5; -2) et B(-1; 3) est donc :

Remarque

Une autre méthode consiste dire que si un point M(x_M;y_M) appartient à la droite (AB), alors les vecteurs sont colinéaires. Et donc :



En résolvant cette équation, on trouve aisément l'équation de la droite cherchée.