En classe de seconde, vous devez savoir dresser le tableau de signes d'une inéquation. C'est d'ailleurs lui qui va vous aider à la résoudre. C'est parti pour un cours de maths sur le signe d'une inéquation.
Quand on a une inéquation, on voudra souvent savoir son signe en fonction de la valeur de x. C'est ce que nous allons voir dans cette section à travers un exemple.
Exemple
Etudions le signe de : (x - 1)(2x + 3)
On va étudier le signe de chaque facteur de ce produit. Sachez que c'est exactement la même chose avec un quotient, on aurait alors étudier le signe du numérateur puis celui du dénominateur.
On trace alors le tableau de signes suivant :
On met un 0 là où le facteur est nul.
A droite de ce zéro on met des + et à gauche des -.
Enfin, pour le produit des deux facteurs (la dernière ligne), on utilise la règle des produits de signes.
On va étudier le signe de chaque facteur de ce produit. Sachez que c'est exactement la même chose avec un quotient, on aurait alors étudier le signe du numérateur puis celui du dénominateur.
- x - 1 = 0 <=> x = 1, donc x - 1 est nul pour x = 1, positif pour x > 1 et négatif pour x < 1.
- 2x + 3 = 0 <=> x =
, donc 2x + 3 est nul pour x = , positif pour x > et négatif pour x < .
On trace alors le tableau de signes suivant :
On met un 0 là où le facteur est nul.
A droite de ce zéro on met des + et à gauche des -.
Enfin, pour le produit des deux facteurs (la dernière ligne), on utilise la règle des produits de signes.
Résumons :
- Si on a un produit : A × B = 0, on résout A = 0 et B = 0.
A est nul pour a, positif si x > a et négatif si x < a.
B est nul pour b, positif si x > b et négatif si x < b.
On fait le tableau de signes suivant : (supposons par exemple que a < b)
Attention, dans la ligne des x, on mets les nombres dans l'ordre croissant.
Comme je l'ai expliquer avant, on met un 0 là où le facteur est nul.
A droite de ce zéro on met des + et à gauche des -.
Enfin, pour le produit des deux facteurs (la dernière ligne), on utilise la règle des produits de signes. - Si on a un quotient :
, on résout A = 0 et B = 0.
A est nul pour a, positif si x > a et négatif si x < a.
B est nul pour b, donc b est la valeur interdite, et B est positif si x > b et négatif si x < b.
On fait le tableau de signes suivant : (supposons par exemple que a < b)
On met une double barre pour la valeur interdite.
Encore une fois, on met un 0 là où le facteur est nul.
A droite de ce zéro on met des + et à gauche des -.
Enfin, pour le quotient des deux terme (la dernière ligne), on utilise la règle des quotients de signes.
Exemple
Résoudre l'inéquation suivante : 
Suivez bien et vous comprendrez tout d'un coup.
On décompose :
Puis on établis le tableau de signes.
Le "Q" de la dernier ligne représente le quotient entier. Plutôt que de le réécrire en entier, on peut mettre un "Q" à la place (ou un "P" si ce n'était qu'un produit).
Donc, la solution de l'inéquation est : S = ]-∞ ; -2] U ]-1 ; 0] U [2 ; +∞[
Le "U" signifie "Union".
Suivez bien et vous comprendrez tout d'un coup.
On décompose :
Puis on établis le tableau de signes.
Le "Q" de la dernier ligne représente le quotient entier. Plutôt que de le réécrire en entier, on peut mettre un "Q" à la place (ou un "P" si ce n'était qu'un produit).
Donc, la solution de l'inéquation est : S = ]-∞ ; -2] U ]-1 ; 0] U [2 ; +∞[
Le "U" signifie "Union".
Remarque
Les bornes d'un intervalle sont toujours ouvertes quand on a un ∞ ou une valeur interdite.
Quelques exercices sur Signe d'une inéquation :