Etude du sens de variation d'une fonction

1 - Sens de variation des fonctions affines

Le cas des fonctions affines est le plus simple. C'est le même d'ailleurs que celui des fonctions linéaires. On détermine leur sens de variation grâce au coefficient directeur.

Définition

Sens de variation des fonctions affines

Soit une fonction affine f(x) = ax + b définie sur .

• Si a > 0, alors f est strictement croissante sur ,


• Si a < 0, alors f est strictement décroissante sur ,


• Si a = 0, alors f est constante sur .

Facile, non ?
En jetant seulement un petit coup d'oeil à la fonction, on peut déterminer son sens de variation.
Je n'est donc rien à ajouter.

2 - Sens de variation des fonctions en général

Pour représenter le sens de variation d'une fonction, on trace son tableau de variations.
Dans ce tableau, on met une flèche pour dire que la fonction croît, et une flèche pour dire que la fonction décroît.
Prenons un exemple.

Exemple

Traçons le tableau de variation de la fonction sinus f(x) = sin x sur [-π ; π].



On commence par faire un tableau de variation "blanc".



On voit bien que la fonction change de sens de variation pour x =, puis pour x =.



On voit bien que la fonction est décroissante de x = -π à x =, croissante de x = à x = et enfin décroissante de x = à x = π.



On remplis la deuxième colonne de la deuxième ligne avec les extrema f() = -1 et f() = 1, ainsi qu'avec les valeurs de f(-π) = 0 et f(π) = 0.

Remarque

Quand on a une valeur interdite à inscrire dans un tableau de variations, on l'écrit dans la ligne des x, et on mets une double barre "||" dans la ligne des f(x) comme ceci-ci :



Ici, la valeur interdite est x = 1.

Remarque