Déterminer une équation d'une tangente à la courbe

Considérons la fonction f définie sur l'ensemble des réels par :

∀ x ∈ R, f(x) = 3f(x)² + x - 3

On appelle C_f sa courbe représentative.

L'objectif de cet exercice est de déterminer une équation de la tangente (T) à C_f au point d'abscisse x = 1.

Calculer f(a)

Maintenant il va falloir déterminer les différents termes de l'expression précédente, à savoir f(a) et sa dérivée f'(a).

Commençons par f(a). À partir de l'expression de f, on calcule f(1) comme ceci :

f(1) = 3 × (1)² + 1 - 3 = 3 × 1 + 1 - 3 = 3 + 1 - 3 = 1

Calculer f'(a)

On calcule maintenant f'(x) pour ensuite pouvoir calculer f'(1).

La fonction f est dérivable sur R en tant que fonction polynôme.

Du coup, on peut la dériver en utilisant les dérivées usuelles :

∀ x ∈ R, f?(x) = (3 × 2)x + 1 = 6x + 1

On en déduit facilement la valeur de f'(1) :

f?(1) =6 × 1 + 1 = 6 + 1 = 7

Appliquer la formule de l'équation de la tangente en un point d'une courbe

On détermine à présent une équation de la tangente en remplaçant f(1) et f'(1) par leur valeur et on simplifie l'expression.

Donc, une équation de la tangente (T) à C_f au point d'abscisse x = 1 est :

(T) : y = 7(x - 1) + 1 = 7x - 7 + 1 = 7x - 6