Cours

Variables aléatoires, espérance, variance et écart-type

Cours de maths terminale ES

Le cours sur les variables aléatoires en terminale ES définit cette notion de probabilités, énonce la loi de probabilité et les formules d'espérance, de variance et d'écart-type.

Dans ce cours sur les variables aléatoires, je vais vous apprendre des formules importantes en probabilités : l'espérance, la variance et l'écart-type. Ces mots ne vous sont pas inconnus ? Normal, vous les avez déjà utilisé en statistiques durant les années précédentes. On commence ?

Définition d'une variable aléatoire

Commençons donc par la définition d'une variable aléatoire.

Définition

Variable aléatoire

 Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire.

Loi de probabilité

Et la loi de probabilité maintenant. Vous verrez, vous connaissez déjà.

Propriété

Loi de probabilité

 Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs :

X(Ω) = x1; x2; ...; xn


La loi de probabilité de X associe à chaque réel xn la probabilité P(X = xn).

Exemple

On tire au hazard une carte dans un jeu de 32 cartes.
L'univers est l'ensemble des 32 cartes.
On définit la variable aléatoire X : tirer un As rapporte 10, tirer une figure rapporte et tirer une autre carte ne rapporte rien.

Les valeurs prises par la variable aléatoire sont : 0; 1; 10, c'est-à-dire :

X(Ω) = {0; 1; 10}


On a alors :

{X = 10} = {As de ♥; As de ♦; As de ♣; As de ♠}
{X = 1} = {toutes les figures}
{X = 0} = {toutes les cartes sauf les As et les figures}

En probabilités, cela donne :

P({X = 10}) = 4/32 = 1/8
P({X = 1}) = 12/32 = 3/8
P({X = 0}) = 16/32 = 1/2

On représente généralement une loi de probabilité dans un tableau, comme ceci :

xn 0 1 10
P({X = xn}) 1/2 3/8 1/8

Espérance

Définissons à présent l'espérance d'une variable aléatoire.

Définition

Espérance

 L'espérance d'une variable aléatoire X est le réel :

espérance


Sans le symbole de somme, cela donne ceci :

E(X) = x1P(X = x1) + x2P(X = x2) + ... + xnP(X = xn)


Petite propriété en plus.

Propriété

Propriété de l'espérance

 Pour tous réels a et b :
E(aX + b) = aE(X) + b

Variance

La variance.

Définition

Variance

 La variance d'une variable aléatoire X est le réel :

variance

En fait, l'expression de la variance est celle-ci :

V(X) = [x1 - E(X)]²P(X = x1) + [x2 - E(X)]²P(X = x2) + ... + [xn-E(X)]²P(X = xn)


Donc, avant de pouvoir calculer la variance d'une variable aléatoire, il va falloir calculer son espérance.

Propriété

Propriété de la variance

 Pour tous réels a et b :
V(aX + b) = a²V(X)

Ca peut toujours servir...

Ecart-type

Une dernière petite définition, celle de l'écart-type.

Définition

Ecart-type

 L'écart-type d'une variable aléatoire X est le réel :
σ(X) = √V(X)

Donc, avant de pouvoir calculer l'écart-type d'une variable aléatoire, il va falloir calculer sa variance après avoir préalablement calculer son espérance.