Montrer qu'une suite est géométrique et donner sa forme explicite

Découvrez comment montrer qu'une suite numérique est géométrique et comment déterminer sa forme explicite avec la raison et le premier terme.

Considérons la suite numérique u_n suivante :

u₀ = 2
∀ n ∈ N, u_n+1 = 3u_n - 1

Ainsi que la suite v_n définie par :

∀ n ∈ N, v_n = 2u_n - 1

Dans ce cours méthode, je vais vous montrer comment démontrer que v_n est géométrique. Puis, nous donnerons la forme explicite de cette suite géométrique.

Rappelons tout d'abord la définition d'une suite géométrique.

Définition

Suite géométrique

On appelle suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q la suite définie par :

définition suite géométrique

Exprimer v_n+1 en fonction de v_n

Pour tout entier naturel n, calculons v_n+1.
Il faudra faire apparaître l'expression de v_n dans le résultat pour pouvoir exprimer v_n+1 en fonction de v_n.

En effet, nous cherchons à obtenir un résultat qui soit de la forme : v_n+1 = v_n × q, avec q ∈ R (c'est la raison de suite géomtrique, vous l'aurez compris).

Calculons donc v_n+1 :

∀ n ∈ N, v_n+1 = 2u_n+1 - 1

v_n+1 = 2 × (3u_n - 1) - 1

v_n+1 = 6u_n - 2 - 1

v_n+1 = 6u_n - 3

Exprimons maintenant v_n+1 en fonction de v_n.

On sait que :

∀ n ∈ N, v_n = 2u_n - 1

Donc, ∀ n ∈ N :

u_n =	v_n + 1
u_n =	2

Ainsi, ∀ n ∈ N :

v_n+1 = 6	v_n + 1	- 3
v_n+1 = 6	2	- 3

v_n+1 = 3 × (v_n + 1) - 3

v_n+1 = 3v_n + 3 - 3

v_n+1 = 3v_n

Conclure que la suite v_n est géométrique

Rappellons tout d'abord la condition pour qu'une suite soit géométrique : si ∀ n ∈ N, v_n+1 = v_n × q, avec q ∈ R, alors v_n est une suite géométrique.

On précise la valeur de sa raison q et de son premier terme v₀.

Attention

Lorsque l'on montre que pour tout entier n, v_n+1 = v_n × q, la raison q doit être un réel qui ne dépend pas de n.

Pour tout entier n, on a v_n+1 = 3v_n.

Donc v_n est une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme :

v₀ = 2u₀ - 1 = 2 × 2 - 1 = 3.

Donner l'expression de vnvn en fonction de n

Si v_n est géométrique de raison q et de premier terme v₀, alors :

∀ n ∈ N, v_n = v₀ × qⁿ

De manière générale, si le premier terme est v_p, alors :

∀ n ≥ p, v_n = v_p ×q^n-p

Comme v_n est une suité géométrique de raison q = 3 et de premier terme v₀ = 3, alors, ∀ n ∈ N :

v_n = v_O × qⁿ.

Ainsi :

∀ n ∈ N, v_n = 3 × 3n

Attention

Pour montrer qu'une suite v_n est géométrique, on peut également montrer qu'il existe un réel q tel que pour tout entier n, v_n+1v_n = q.

Cependant, on ne peut utiliser cette méthode que si l'on a préalablement montré que pour tout entier n, v_n ≠ 0.