Propriétés de la fonction exponentielle

Voici un cours sur les propriétés de la fonction exponentielle. Elles sont primordiales et vous devez absolument les connaître pour le Baccalauréat de juin prochain.

La fonction exponentielle vérifie : f(x + y) = f(x) × f(y)

Soit : e^{a + b} = e^a × e^b

C'est la propriété fondamentale de cette fonction. Voici les autres.

Propriétés

Propriétés de la fonction exponentielle

Voici un grand nombre de propriétés sur cette fonction exponentielle.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

Pour tout réel x, e^x > 0.

Pour tout a, b ∈ ,

e^a < e^b ⇔ a < b

e^a = e^b ⇔ a = b

Pour tout x > 0, e^{ln x} = x.

Pour tout réel x, ln (e^x) = x.

La fonction exponentielle est dérivable sur et pour tout réel x, (e^x)' = e^x.

Si u est une fonction dérivable sur , alors :

(e^u)' = u'e^u

Pour tout x, y ∈ ,

e^{x + y} = e^xe^y

Pour tout réel x,

e^-x = 1

e^x

Pour tout x, y ∈ ,

e^{x - y} = e^x

e^y

Pour tout x ∈ et tout n ∈ ,

(e^x)ⁿ = e^nx

e^-x =	1
e^x

e^{x - y} =	e^x
e^y

Ces propriétés sont primordiales. Cela doit être un automatisme pour vous.
Vous deviez déjà en connaître certaines, relatives à la fonction puissance.

Je veux juste insister sur une chose en particulier.
Retenez ceci : la exponentielle est toujours positive. Elle peut, contrairement à sa soeur logarithme, "manger" du négatif, mais le résultat est toujours positif.

Quelques exercices sur Propriétés de la fonction exponentielle :