Résoudre une équation complexe

Nous allons, dans ce cours méthode, résoudre l'équation complexe suivante :

(5 + 2i)(z - 2i) = (3 + i +z)(2 - i)

Vous l'aurez compris, il s'agit ici de déterminer la valeur du nombre complexe z en fonction de i.

Développement de l'équation complexe

Dans un premier temps, il faut, comme si l'equation était réelle, la développer. Allons-y !

(5 + 2i)(z - 2i) = (3 + i +z)(2 - i)

⇔ 5z - 10i + 2iz + 4 = 6 - 3i + 2i + 1 + 2z - zi

⇔ 3z + 3iz = 3 + 9i

⇔ z + iz = 1 + 3i

Factorisation de l'équation complexe

Factorisons l'équation complexe pour éssayer d'isoler le z.

⇔ z + iz = 1 + 3i

⇔ z (1 + i) = 1 + 3i

⇔ z =	1 + 3i
	1 + i

Utilisation de l'expression conjugée

Maintenant, nous allons utiliser l'expression conjuguée afin de déterminer d'enlever les i du dénominateur de cette fraction.

⇔ z =	(1 + 3i)(1 - i)
	2

Conclusion

On développe tout ça et on trouve finalement :

z = 2 + i