Limites de fonctions

Après avoir étudié les limites de suites numériques, nous passons désormais aux limites de fonction. C'est pareil sauf que cette fois ci, la variable d'une fonction peut tendre aussi bien vers +∞ que vers -∞, autrement dit, le x peut prendre des valeurs négatives tandis que le n des suites était un entier naturel.

1 - Limite finie en l'infini

Commençons par la limite finie en +∞ et -∞.

Définition

C'est presque la même définition que pour les suites.
Je vais vous expliquer ça avec des mots moins savants.

Lorsque l'on fait tendre x vers l'infini (soit vers un nombre très grand), la fonction elle va tendre vers un réel. Plus le x sera grand, plus le f(x) se rapprochera de ce réel noté l qui est la limite de la fonction.

C'est pareil pour la limite finie en -∞. Lorsque l'on fait tendre x vers -∞ (soit vers un nombre très petit), la fonction elle va tendre vers un réel. Plus le x sera petit, plus le f(x) se rapprochera de ce réel noté l qui est la limite de la fonction.
Vous avez compris ? Un petit exemple pour illustrer tout cela.

Exemple

La fonction inverse définie par tend vers le réel 0 lorsque x tend vers l'infini. Cela veut dire que plus le x est grand, plus le f(x) sera petit et se rapprochera de la valeur 0.
On note cela ainsi :

2 - Limite infinie en a

Parfois, la limite en un point est infinie.

Définitions

Limite infinie en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant l'intervalle ]a ; a + ε[ ou ]a - ε ; a[, avec a un réel et ε > 0.

La fonction f a pour limite +∞ en a si f(x) est très grand dès que x est suffisamment proche de a.
On note :

La fonction f a pour limite -∞ en a si f(x) est très petit dès que x est suffisamment proche de a.
On note :

C'est juste l'inverse de la première définition. Cette fois ci, ce n'est plus le x qui grandit mais le f(x).

Lorsque l'on fait tendre x vers a, la fonction elle va tendre vers +∞. Plus le x se rapprochera de la valeur de a, plus le f(x) sera grand et tendra donc vers +∞.

Et pour l'autre : lorsque l'on fait tendre x vers a, la fonction elle va tendre vers -∞. Plus le x se rapprochera de la valeur de a, plus le f(x) sera petit et tendra donc vers -∞.

Exemple

La fonction définie par tend vers le réel l'infini lorsque x tend vers la valeur interdite de la fonction, c'est-à-dire 2. Cela veut dire que plus le x se rapproche de la valeur interdite 2, plus le f(x) sera grand.
On note cela ainsi :

3 - Limites de fonctions de référence

Les limites que je vais vous présenter dans cette section sont usuelles. Vous devez les connaître.

Définitions

Limites de fonctions de référence

4 - Opérations sur les limites

Il nous ait déjà arrivé de faire des opérations sur les dérivées par exemple. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. C'est ce que nous allons faire ici mais avec des limites.
Dans cette section, a désigne soit un nombre réel, soit +∞, soit -∞ et L et L' sont des réels.
Les exemples sont en faire de section.

Propriétés

Somme des limites

Remarque

Propriétés

Produit des limites

Propriétés

Quotient d'une limite

Propriétés

Quotient des limites Pour déterminer la limite de , il suffit de déterminer la limite de puis de déterminer la limite du produit de f par .

5 - Fonction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini

Voyons maintenant une propriété intéressante et très pratique lorsque l'on manipule des polynômes.

Propriétés

Remarque importante

Exemple 1

Soit le polynôme P(x) = -x⁵ + 3x⁴ + x³ - 5x + 2.
Sa limite en +∞ est celle de son terme de plus haut degré, c'est-à-dire c'est la limite de -x⁵ et :



Donc, la limite de P en +∞ est -∞.

Exemple 2

On demande de calculer la limite en +∞ de .
Facile. On prend les termes de plus haut degré du haut et du bas : .
Donc :

Exemple 3

Calculer la limite en +∞ de (3x³ - x² + 2x - 4)(-2x² - 2).
Or,



Calculons donc séparément les deux limites puis nous effectuerons leur produit.



Le produit de +∞ et de -∞ est -∞.
Conclusion :

6 - Limite d'une fonction composée

Je vous redéfini la nouvelle notion de composition de fonctions.

Définition

Fonction composée

Soient f une fonction définie sur I et g(x) une fonction définie sur f(I).
La fonction (on dit "g rond f")est la fonction définie aussi sur le domaine I par :

En fait, on remplace la variable de la fonction g par la fonction f.

Exemple

Soient deux fonctions f(x) = x + 1 et g(x) = 3x - 2x + 1.
Si on veut :



Vous avez saisie l'idée ?
Je vous laisse terminer le calcul.

Théorème

Limites des fonctions composées

Soient f une fonction définie sur I, g une fonction définie sur f(I), a un élément de I (borne comprise), L et L' deux réels ou ±∞.
Si :



Alors :

On a une première fonction f qui tend vers L lorsque sa variable x tend vers a.
Puis une seconde fonction g qui tend vers L' lorsque sa variable X tend vers L, la limite de la première fonction f.
Alors, la composée de ces deux fonction tend vers L', limite de la seconde fonction g.

C'est quelque chose d'important. C'est pourquoi je vous donne quatre exemples différents, de difficulté progressive.

Exemple 1

Déterminer la limite en +∞ de la fonction .

C'est la fonction g(x) = x³ - 2x² + 5x + 3 composée avec la fonction racine .
Calculons la limite de g.



Calculons aussi la limite de h quand x tend vers la limite de g soit +∞.



C'est facile en fait. On fait tendre l'intérieur de la racine vers l'infini. Le résultat est l'infini. Puis on regarde la limite de la racine de l'infini. Ce qui nous donne ...

Exemple 2

Un peu plus difficile. Calculer la limite suivante :



On bien que 2 est la valeur interdite de cette fraction car : -2² + 5 × 2 - 6 = 0.
On a aussi la valeur 3 comme valeur interdite mais ne nous en préoccupons pas ici, on cherche la limite en 2, pas en 3.
Nous allons devoir étudier cette limite au voisinage de 2, c'est-à-dire autour de 2. On l'étudiera en (très proche de 2 mais toujours inférieur) et en (très proche de 2 mais toujours supérieur).
Nous allons donc avoir besoin du signe de la quantité -x² + 5x - 6 pour un x tendant vers et pour un x tendant vers . Dressons-le.



On voit bien donc que le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif avant 2 et positif après. Autrement dit, en , le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif et en il est positif. On a ce qu'on voulait !
Calculons maintenant les limites :



On va faire le quotient de ce polynôme.
Or, en , le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif, donc son quotient va tendre vers -∞ et en il est positif, son quotient va tendre vers +∞.



N'oublions pas la limite du numérateur.



En fait, vu que 2 n'est pas une valeur interdite pour le numérateur, on a :



Cette limite est négative. Quand on fait le quotient des deux limites, on trouvera donc :



Fiou ! On a terminé. Vous voyez bien que la limites diffère en fonction de la position de x : en elle vaut +∞ et en elle vaut -∞.

7 - Théorèmes de comparaison

Comme pour les suites, il existe des théorèmes de comparaison qui vont nous aider à déterminer la limite d'une fonction.
Cette partie est très encore une fois importante.
Dans les théorèmes que je vais vous énoncer, il y a beaucoup de conditions pré-requises. Si une d'entre elles manquent, le théorème ne peut être appliqué.

a - Théorème des gendarmes

Vous connaissez maintenant le principe.

Théorème

Théorème des gendarmes

Soient f, g et h trois fonctions telles que :


Alors, on a :

Exemple

En effet, on sait que pour tout x ≠ 0, -1 ≤ sin x ≤ 1.

On divise tout par x².


Or,


Donc, d'après le théorème des gendarmes :

b - Comparaison au voisinage de l'infini

Deux théorèmes très pratiques basés sur la majoration et la minoration.

Théorème

Théorème de minoration

Soient b un réel, f et g deux fonctions.
Si, pour tout x ∈ ]b, +&infin[,


Alors :

Théorème

Théorème de majoration

Soient b un réel, f et g deux fonctions.
Si, pour tout x ∈ ]b, +∞[,


Alors :

Si f est majorée par une fonction g, c'est-à-dire que f(x) ≤ g(x) et si la limite de la fonction g est -∞, alors la limite de f est plus petite que la limite de g, et plus petit que -∞ c'est forcément toujours -∞.
Pareil pour la minoration.

Exemple

On sait que pour tout x strictement positif : .
Or,



On en déduit, d'après le théorème de minoration, que :