En terminale, vous devez absolument maîtriser le raisonnement par récurrence. C'est dans ce cours que je vous l'apprends. C'est très simple vous allez voir, il suffit de raisonner en trois étapes.
C'est sans doute, la partie la plus importante de cette année en analyse.
Lorsque vous serez confronté à une question dans un exercice sur les suites, vous devrez toujours essayer cette méthode. C'est de par elle que l'on répond aux questions les plus compliquées.
Voici son principe.
Définition
Raisonnement par récurrence
Considérons une proposition dépendant d'un entier naturel n, que l'on nomme P(n).Le raisonnement par récurrence permet de démontrer que P(n) est vraie en trois étapes :
- Etape 1 : On vérifie que la proposition est vraie pour un entier
. - Etape 2 : On suppose que la proposition est vraie à un rang n > et on démontre qu'elle est vraie au rang n + 1, le rang suivant. Si c'est le cas, on dit que P(n) est héréditaire.
- Etape 3 : On conclue que la proposition est vraie pour tout n.
Prenons un exemple simple.
Exemple
Soit la suite un définie par :
Montrons par récurrence que un > 0.
La proposition P(n) à démontrer est : un > 0.
Montrons par récurrence que un > 0.
La proposition P(n) à démontrer est : un > 0.
- Etape 1 : On vérifie que la proposition est vraie pour un entier n0.
On a u0 = 2 > 0.
Donc la proposition est vraie au rang 0. - Etape 2 : On suppose que la proposition est vraie à un rang n > et on démontre qu'elle est vraie au rang n + 1, le rang suivant.
Supposons qu'au rang n, un > 0.
Montrons qu'au rang n + 1, on a un + 1 > 0.
un + 1 = un + 3 > 0
Car un > 0 (hypothèse) et 3 > 0.
La proposition est donc vraie au rang n, ainsi qu'au rang suivant. - Etape 3 : Conclusion : la proposition un > 0 est vraie pour tout n.