Après vous avoir rappelé les propriétés des calculs algébriques, je vous donne des exemples de développement et de factorisation dans ce cours de maths.
Commençons cette section par quelques rappels de troisième.
Définition
Développement et factorisation
Développer un produit le transforme en sommes (ou différences), et factoriser une somme de plusieurs produit c'est la rendre en un seul produit.Voici des formules de 3ème, à gauche la forme factorisée et à droite la forme développée :
k(a - b) = ka - kb
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
Rajoutons à cela d'autres formules.
Définition
Identités remarquables
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³
(a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
Je vais vous donner une exemple de développement et un exemple de factorisation dans lesquels je vais tout expliquer la méthode de calcul et de factorisation. soyez attentifs.
Exemple de développement
Soit l'expression suivante :
A = (x - 1)² - [(x² + 3)(x - 2) - 3x]
On va calculer cette expression en suivant la méthode suivante :
1ère étape : on développe tout ça.
A = (x - 1)² - [(x² + 3)(x - 2) - 3x]
A = x² - 2x + 1 - (x³ - 2x² + 3x - 6 - 3x)
A = x² - 2x + 1 - (x³ - 2x² - 6)
A = x² - 2x + 1 - x³ + 2 x² + 6
2ème étape : on range tout ce bazars en mettant les puissances les plus élevés en premières.
A = x² - 2x + 1 - x³ + 2x² + 6
A = -x³ + x² + 2x² - 2x + 1 - 6
3ème étape : on simplifie et on a fini.
A = -x³ + x² + 2x² - 2x + 1 - 6
A = -x³ + 3x² - 2x - 5
On va calculer cette expression en suivant la méthode suivante :
1ère étape : on développe tout ça.
A = x² - 2x + 1 - (x³ - 2x² + 3x - 6 - 3x)
A = x² - 2x + 1 - (x³ - 2x² - 6)
A = x² - 2x + 1 - x³ + 2 x² + 6
2ème étape : on range tout ce bazars en mettant les puissances les plus élevés en premières.
A = -x³ + x² + 2x² - 2x + 1 - 6
3ème étape : on simplifie et on a fini.
A = -x³ + 3x² - 2x - 5
Exemple de factorisation
Soit l'expression suivante :
B = (x - 1)³ + (x + 1)(1 - x)
On va factorise cette expression en suivant la méthode suivante :
1ère étape : on cherche le facteur commun. Ici on remarque que 1 - x = -(x - 1). On a notre facteur commun.
B = (x - 1)³ + (x + 1)(1 - x)
B = (x - 1)³ - (x + 1)(x - 1)
B = (x - 1)[(x - 1)² - (x + 1)]
2ème étape : on obtient un produit de deux facteurs : le facteur commun qu'on ne touche pas et le second facteur que l'on développe.
B = (x - 1)[(x - 1)² - (x + 1)]
B = (x - 1)[x² - 2x + 1 - x - 1]
B = (x - 1)(x² - 3x)
Remarquons que l'on peut encore factoriser le second facteur. Eh oui, par x. Allons-y.
B = (x - 1)(x² - 3x)
B = x(x - 1)(x - 3)
Voilà, l'expression est factorisée au maximum.
On va factorise cette expression en suivant la méthode suivante :
1ère étape : on cherche le facteur commun. Ici on remarque que 1 - x = -(x - 1). On a notre facteur commun.
B = (x - 1)³ - (x + 1)(x - 1)
B = (x - 1)[(x - 1)² - (x + 1)]
2ème étape : on obtient un produit de deux facteurs : le facteur commun qu'on ne touche pas et le second facteur que l'on développe.
B = (x - 1)[x² - 2x + 1 - x - 1]
B = (x - 1)(x² - 3x)
Remarquons que l'on peut encore factoriser le second facteur. Eh oui, par x. Allons-y.
B = x(x - 1)(x - 3)
Voilà, l'expression est factorisée au maximum.
Remarque
On factorise le plus souvent pour résoudre une équation ou une inéquation.