Les fonctions trigonométriques ne seront pas vos favorites. Nous étudierons dans ce cours les fonctions cosinus et sinus et quelques notions trigonométriques en bonus.
Cette fois-ci, une grande concentration est demandée car les fonction trigonométriques sont ultra importantes en mathématiques.
Nous allons d'abord introduire quelques notions, avant de les étudier.
Définition
Cercle trigonométrique
Soit un repère orthonormal (O ; I ; J). On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre 0, de rayon 1, orienté dans le sens positif (ou sens direct).
Remarque
Définitions
Fonctions trigonométriques
Soit un repère orthonormal (O ; I ; J).On appelle cosinus de x, noté cos x, l'abscisse du point M appartenant au cercle trigonométrique, et sinus de x, noté sin x, l'ordonnée de ce point M.
Mais ce ne sont pas des fonctions si elles sont sur un cercle ? Je n'ai pas compris.
Si, ce sont des fonctions que l'on représente sur un cercle. Je vous les présente dans un "vrai" repère tout de suite.
Définitions
Fonction sinus et cosinus
- La fonction cosinus est la fonction f définie sur
par f(x) = cos x.
C'est une fonction paire et périodique de période 2π, c'est-à-dire qu'elle se répète tous les 2π.
Sur une période [-π; π], elle est croissante sur [-π ; 0] et décroissante sur [0 ; π].
La courbe représentative de la fonction cosinus est une sinusoïde.
- La fonction sinus est la fonction f définie sur par f(x) = sin x.
C'est une fonction impaire et périodique de période 2 π.
Sur une période [-π; π], elle est décroissante sur [-π ; -π/2] et sur [π/2; π] et croissante sur [-π/2 ; π/2].
La courbe représentative de la fonction sinus est une sinusoïde.
Il existe un tas de propriétés pour ces deux fonctions sin et cos. En voici quelques-unes.
Propriétés
Propriétés des fonction trigonométriques
Voici les deux principales propriétés des fonctions cosinus et sinus.- Pour tout réel x : -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1.
- cos² x+ sin² x = 1
- Parité : cos(-x) = cos (x) (fonction paire) et sin(-x) = -sin (x) (fonction impaire).
Remarque
Exemple
En effet, par le produit en croix :
Il y a des valeurs à connaître par coeur, comme par exemple : 
. Voici la suite.
Et comment je fais pour les autres angles ?
Vous vous servirez des propriétés de parités ou autres pour les déterminer. Ou utilisez la remarque suivante.
Remarque importante
Exemple 1
.
On décompose le
comme ceci :
Or, cos(4π) = 0.
Donc :
Exemple 2
, calculer sin x.
On sait que, pour tout x, cos² x + sin² x = 1, donc :
Donc :
Or, x se trouve dans le premier quart du cercle trigonométrique, là où le sinus est positif. Donc :
Avec la calculatrice, on trouve une valeur approchée de x à 10-3 près de : x = 0,841 rad.