Vous vous doutez sûrement déjà de ce que sont le maximum et le minimum d'une fonction. Voici le cours de maths qui vous explique tout sur les éventuels maximum et minimum d'une fonction.
Soit une fonction croissante sur un intervalle D1, puis décroissante sur un intervalle D2, et encore croissante sur un intervalle D3, etc. Elle passera par un maximum et un minimum (si elle ne pars pas à l'infini). C'est le sujet de cette deuxième section.
Définition
Maximum et Minimum
Soit une fonction f définie sur un domaine D et I un intervalle de D et a un réel de I.- f (a) est le minimum de f sur I si et seulement si pour tout x ∈ I on a f(x) ≥ f(a),
- f (a) est le maximum de f sur I si et seulement si pour tout x ∈ I on a f(x) ≤ f(a).
En fait, si toutes les valeurs de f(x) sont supérieurs à la valeur f(a), c'est que f(a) est la plus petite valeur de la fonction. f(a) est le minimum de la fonction.
Et si toutes les valeurs de f(x) sont inférieurs à la valeur f(a), c'est que f(a) est la plus grande valeur de la fonction. f(a) est le maximum de la fonction.
Exemple
En bleu, le maximum atteint en x = 0 et vaut f(0) = 1.
En rouge, le minimum atteint deux fois dans cette intervalle, en x = -3,14 et x = 3,14 qui vaut f(-3,14) = f(3,14) = -1.
Remarque
Si une fonction possède un maximum (ou un minimum), il est unique, mais il peut être atteint plusieurs fois, comme on l'a vu dans l'exemple précédent.
Et comment on montre qu'une fonction a un maximum ou un minimum ?
J'attendais la question. On s'appuis sur le fait que si la fonction change de sens de variation, alors elle possède un maximum (ou un minimum).
Vous faites donc comme suit (m est le minimum et M le maximum et a et b sont deux réels) :
- On montre que la fonction est croissante sur un intervalle [a ; M] (ou décroissante sur [a ; m]),
- On montre que la fonction est décroissante sur un intervalle [M ; b] (ou croissante sur [m ; b]).
Alors la fonction admet un maximum M (ou un minimum m).
Remarque
Si f(M) - f(x) > 0, alors M est le maximum de f.
Si f(m) - f(x) < 0, alors m est le minimum de f.
Exemple
En effet, la fonction carrée est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; ∞[. De plus, f(0) = 0.
Cela se voit clairement sur le graphe.
Remarque
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Toismael57 • il y a 397 jours. Non |
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Maxencebarrau • il y a 1695 jours. Nul |
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Maxencebarrau • il y a 1695 jours. Nul |