Voici un cours complet sur les limites des suites numériques dans lequel je vous donne les définitions de la convergence et de la divergence, les théorèmes de comparaison, dont le fameux théorème des gendarmes, mais aussi les propriétés des opérations algébriques sur les limites. Sans oublier le cas particulier des limites de suites géométriques.
1 - Convergence et divergence de suites
Que peut faire une suite, au fur et à mesure des n croissants?
Réponse :
- Soit tendre vers un réel,
- Soit tendre vers l'infini,
- Soit elle ne tend vers rien.
Définitions
Convergence et divergence de suites
- On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini.
On note alors :
L est la limite de la suite un et elle est unique. - Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
Explication : Si plus on va dans les n grands, plus la suite se rapproche d'un nombre, que l'on va désigné par le réel L, alors on dira que la suite est convergente vers le réel L.
Autrement dit, et en reprenant les termes de la définition, à partir d'un certain rang n, tous les termes de la suites tendent vers le réel L.
Si la suite ne se rapproche d'aucun réels, alors elle est divergente.
Mais attention : une suite divergente admet soit une limite infinie, soit aucune limite.
On dira qu'une suite un admet pour limite +∞ si tout intervalle ouvert ]a ; +∞[ contient tous les termes de la suite un à partir d'un certain rang p. C'est-à-dire qu'à partir d'un certain nombre, que l'on désigne par a, les termes de la suite tendent vers l'infini.
Exemple
tend vers 0.
En effet, cela se voit bien quand on calcule les premiers termes de la suite :
On doit calculer tous les termes de la suite pour savoir si elle converge ou pas ?
Non, pas du tout. Il faut tout de même en calculer quelques uns pour avoir une idée de la limite.
Regardez bien mon raisonnement qui peut paraître complexe la première fois.
Tout intervalle qui contient 0 contient également l'intervalle ]-a ; a[ avec a > 0, c'est de la pure logique.
Maintenant, si un ∈ ]-a ; a[, alors :
Donc, tous les termes de la suite un sont contenus dans l'intervalle ]-a ; a[ dès que n est supérieur à
.
Conclusion : la suite un converge vers 0.
Ne vous inquiétez pas, nous aurons des méthodes bien plus simples et plus rapides pour montrer la convergente ou la divergence d'une suite.
Et pour les suites divergentes ?
Exemple
En effet : la suite ne fais que osciller autour de 0 en prenant successivement les valeurs 1 et (-1).
Une dernière propriété, très simple en plus.
Propriété
Propriété de convergence
Une suite un converge vers L revient à dire que la suite (un - L) converge vers 0.Remarque
2 - Théorèmes de comparaison
Nous allons attaquer les théorèmes de comparaison qui vont nous aider à montrer la convergence ou la divergence d'une suite.
Cette partie est très importante, concentrez-vous bien.
Dans les théorèmes que je vais vous énoncer, il y a beaucoup de conditions pré-requises. Si une d'entre elles manquent, le théorème ne peut être appliqué.
a - Théorème des gendarmes
p> On débute par le critère de comparaison, appelé le théorème des gendarmes, vous comprendrez pourquoi.Théorème
Théorème des gendarmes
Soient un, vn et wn trois suites numériques telles que un et wn convergent vers L.Si un ≤ vn ≤ wn à partir d'un certain rang, alors la suite vn converge vers L.
Une conséquente immédiate de ce résultat est le suivant :
, alors la suite un converge vers L.
Je vais vous appliquer ce théorème très puissant sur un exemple afin que vous saisissiez absolument tout.
Exemple
est 0.
En effet : on sait que :
C'est la propriété fondamentale de trigonométrie. Si par malheur vous ne la connaissiez pas, je vous aurais arraché la tête ! Continuons...
On va diviser par n tous les membres de l'inégalité.
On a donc trois suites :
.
Or,
On a toutes les conditions pour appliquer le théorème des gendarme.
Conclusion, la suite
converge vers 0.
b - Critère de divergence
La divergence à présent.
Théorème
Critère de divergence
Soient un et vn deux suites numériques telles que un ≤ vn à partir d'un certain rang.
Cela se comprend assez bien.
Si la limite de la suite un est +∞ et que la suite vn est plus grande que la suite un, alors la limite de vn sera plus grande que celle de un. Plus grand que +∞ cela ne peut être que +∞.
Si la limite de la suite vn est -∞ et que la suite un est plus petite que la suite vn, alors la limite de un sera plus petite que celle de vn. Plus petit que -∞ cela ne peut être que -∞.
Exemple
En effet, on a :
On multiple l'inégalité par n² (positif, donc ne change aucun signe),
Or :
Donc :
3 - Opérations algébriques sur les limites
Quelques opérations algébriques sur les suites et leurs limites.
Propriétés
Opérations algébriques sur les limites de suites
Soient un et vn deux suites numériques convergentes de limites respectives L et L'.-
La suite (un + vn) est convergente et sa limite est égale à L + L',
- La suite (un vn) est convergente et sa limite est égale à L L',
- Si L' ≠ 0, la suite
est convergente et sa limite est égale à 
,
Ces opérations sont très simples. Gagnons du temps et ne donnons pas d'exemple.
4 - Limites de suites et de fonctions
Nous allons étudier le cas où la suite un est définie explicitement à l'aide d'une fonction f.
Propriétés
Limites de suites et de fonctions
Soient f une fonction définie sur ]a ; +∞[ et un = f(n) une suite définie à partir de n > a.Si f admet en +∞ une limite finie, ou infinie, alors la suite un admet la même limite.
C'est logique, vu que la suite est définie par une fonction.
On a juste remplacé le x de la fonction par le n de la suite.
Exemple
a pour limite 3.
En effet : soit f la fonction
.
On a un = f(n).
Or,
Oui, car
et 
. Par addition, on a le résultat que l'on voulait.
Donc :
Remarque
car plus le x est grand (plus il tend vers l'infini), plus la fraction sera petite (plus elle va tendre vers 0).
5 - Cas des suites géométriques
Heureusement, les suites géométriques sont plus simples à étudier.
Théorème
Limites de suites géométriques
Soit q ∈
- {0 ; 1} (un réel non nul et différent de 1).
- Si -1 < q < 1, alors la suite qn converge vers 0,
- Si q > 1, alors la suite qn diverge vers +∞,
- Si q = 1, alors la suite qn converge vers 1,
- Si q ≤ -1, alors la suite qn n'a pas de limite.
Ce théorème est très explicite. Pas besoin donc de donner un exemple.
Voilà, nous avons fini sur les suites pour cette année !