Une nouveauté cette année, les suites adjacentes. Deux suites sont adjacentes si l'une est croissante et l'autre décroissante et si... pour en savoir plus, c'est dans ce cours que ça se passe.
Voilà une partie très intéressante sur les suites : les suites adjacentes.
Définition
Suites adjacentes
Deux suites un et vn sont adjacentes si l'une est croissante et l'autre décroissante et si :
Remarque
N'oubliez pas la condition avec la limite, elle signifie que les limites des deux suites sont égales.
Regardez bien le graphique suivant.
La suite vn décroît, tandis que la suite un croît. Toutes les deux tendent vers la même limite 1. Se sont des suites adjacentes.
Exemple
Les suites suivantes sont adjacentes :
En effet, déterminons les variations de ces deux suites.
Donc la suite un est croissante.
Donc la suite vn est décroissante.
Montrons que la limite de leur différence est nulle maintenant.
Or,
Donc, les suites un et vn sont adjacentes.
En effet, déterminons les variations de ces deux suites.
Donc la suite un est croissante.
Donc la suite vn est décroissante.
Montrons que la limite de leur différence est nulle maintenant.
Or,
Donc, les suites un et vn sont adjacentes.
Un petit théorème très puissant à savoir et à comprendre.
Théorème
Théorèmes des suites adjacentes
Si deux suites un et vn sont adjacentes, avec un croissante et vn décroissante, alors :- Pour tout n, un ≤ vn,
- Les deux suites convergent et ont la même limite L,
- Pour tout n, un ≤ L ≤ vn.
Cela se voit très bien si ont reprend le graphique précédent. On voit bien que les suites s'écrasent vers une même limite L, que l'une reste au dessus et l'autre en dessous, et donc que l'une est toujours au dessus de l'autre.