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Faire une figure.
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Que pouvez-vous dire du triangle AOI ? Justifier.
Le triangle ABO est isocèle car le polygone ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O. Donc OA = OA.
De plus, I est le milieu du segment [AB].
Or, dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principale est aussi médiatrice.
Donc, la droite (OI) est médiatrice du segment [AB] et coupe donc celui-ci perpendiculairement en son milieu I.
Par conséquent, le triangle AOI est rectangle en I. -
Calculer la longueur AI. En déduire la longueur AB.
Comme ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O, l'angle AOB = 360/5 = 72° (on divise par 5 car le pentagone a 5 côtés).
Donc, l'angle AOI = 72/2 = 36°.
Dans le triangle AOI, rectangle en I, on applique la formule de trigonométrie suivante :
sin(AOI) = AI/AO
On connait l'angle AOI = 36° et la longueur AO = 5cm, c'est le rayon du cercle donné dans l'énoncé.
Application numérique :
sin(32°) = AI/5 ⇔ AI = 5 × sin(31°) = 2,6cm
Donc :
AB = 2 × AI = 2 × 2,6 = 5,2 -
Calculer IO.
On considère le triangle AOI, rectangle en I.
D'après le théorème de Pythagore :
AO2 = AI2 + IO2 ⇔ IO2 = AO2 - AI2
Application numérique :
IO2 = 52 - 2,62 = 18,24
Soit :
IO = √18,24 = 4,3cm -
Déterminer le périmètre de ABCDE.
Le périmètre du pentagone régulier ABCDE vaut :
PABCDE = 5 × 5,2 = 26cm -
Calculer l'aire de ABCDE.
L'aire d'un pentagone régulier est tout simplement 5 fois l'aire d'une des cinq triangles dont est composé ce pentagone.
L'aire du pentagone régulier ABCDE vaut donc :
AABCDE = 5 × 5,2 × 4,3/2 = 55,9cm2