Soit la suite numérique un définie par : un+1 = (n + 1)² - n²
-
Calculer les cinq premiers termes de cette suite.
u0 = 1
u1 = 3
u2 = 5
u3 = 7
u4 = 9 -
Cette suite est-elle arithmétique ? Si oui, précisez la raison.
On remarque que la différence de deux termes consécutifs de la suite est constante et égale à 2.
Donc, c'est une suite arithmétique de raison r = 2. -
Calculer u99.
Comme c'est une suite arithmétique, on applique une des deux formules :
u99 = u0 + 99 × 2 = 1 + 99 × 2 = 1 + 198 = 199 -
Calculer la somme suivante : S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 195 + 197 + 199.
C'est la somme des 99 + 1 = 100 premiers termes de la suite car 1 = u0 et 199 = u99.
Utilisons donc la formule du cours.
-
Donner les variations de cette suite.
On a :
un = (n + 1)2 - n2 = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1
un + 1 = [(n + 1) + 1]2 - (n + 1)2 = (n + 2)2 - (n + 1)2 = n2 + 4n + 4 - n2 - 2n - 1 = 2n + 3
Or, on sait très bien que :un = 2n + 1 < 2n + 3 = un + 1
Donc, la suite est croissante.
D'ailleurs, cela se voyait très bien lorsque l'on a calculé les premiers termes de la suite.