Soit la fonction polynôme P suivante : P(x) = x4 + x³ - 7x² - 13x - 6.
Ce polynôme admet trois racines que l'on note a, b et c.
Ce polynôme admet trois racines que l'on note a, b et c.
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Quel est le degré du polynôme P ?
On regarde la puissance de x la plus grande. C'est x4, donc le degré de P est 4.
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Montrer que x = -1 est une racine de ce polynôme.
Il suffit de remplacer x par -1 dans P et si on trouve 0 c'est que -1 est racine de ce polynôme.
P(-1) = (-1)4 + (-1)3 - 7 × (-1)2 - 13 × (-1) - 6 = 1 - 1 - 7 + 13 - 6 = 0
Donc, -1 est racine de P. -
Déterminer une fonction polynôme Q du troisième degré telle que : P(x) = (x + 1)Q(x).
En effectuant la division polynômiale de P(x) par (x + 1), on trouve aisément que :
P(x) = (x + 1)(x3 - 7x - 6)
Vous pouvez vérifier.
Donc : Q(x) = x3 - 7x - 6. -
Déterminer les racines de Q.
On ne sait pas déterminer les racines d'un polynôme de degré 3. Mais si on nous pose la question c'est que nous sommes capable de le faire.
Il doit donc y avoir une racine évidente.
Essayons 1: Q(1) = 1 - 7 - 6 = - 12 ≠ 0, non.
Ah, j'ai trouvé ! C'est - 1 : Q(-1) = - 1 + 7 - 6 = 0.
Pour trouver une racine évident en fait, vous essayer avec des nombres de base comme 1, -1, 2, 3, etc.
On a donc - 1 comme racine évidente. Donc :Q(x) = x3 - 7x - 6 = (x + 1)R(x)
Il faut maintenant trouver ce R(x) en effectuant une division polynomiale de Q par (x + 1).
On trouve :Q(x) = x3 - 7x - 6 = (x + 1)(x2 - x - 6)
Donc : R(x) = x2 - x - 6 et P(x) = (x + 1)(x + 1)(x2 - x - 6).
Maintenant, nous savons trouver les racines du polynôme R car il est de degré 2.
Calculons son discriminant :Δ = 25
Donc, les racines sont :
Donc, le polynôme R peut s'écrire de la façon suivante :R(x) = (x - 3)(x + 2)
Et donc, on a :P(x) = (x + 1)(x + 1)(x - 3)(x + 2)
Trois racines pour le polynôme P : - 1, 3 et - 2.
Remarque : On retrouve deux fois la racine - 1. On dit que c'est une racine double. -
Résoudre l'inéquation P(x) ≥ 0.
On a le polynôme P factorisé.
P(x) = (x + 1)(x + 1)(x - 3)(x + 2)
Traçons le tableau de signe de P pour résoudre l'inéquation demandée.
On regarde les intervalles où il y a un + .
Et donc :P(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ ]-∞; - 2[U]3; +∞[