Exercices

Démonstration de formules trigonométriques et valeurs exacte

Correction exercice première S
On rappelle que tan x = sin x/cos x.
Donnée : tan (π/8) = √2 - 1.
  • Montrer que pour tout domaine tangente,

    tan(π + x) = tan x


    En déduire la valeur exacte de tan(9π/8).

    On a :

    formule de tangente


    Or, sin (π + x) = -sin x et cos (π + x) = -cos x.
    Donc :

    tangente



    Calculons tan(9π/8).


    calcul de tangente


  • Montrer que pour tout domaine,

    formule de la tangente


    En déduire la valeur exacte de cos(π/8) et de sin(π/8).

    On a :

    calculs de tangente


    Déduisons-en la valeur exacte de cos(π/8) et de sin(π/8).
    Commençons par cos(π/8), la valeur de sin(π/8) se trouvera facilement après.
    Utilisons la formule que l'on vient de démontrer.

    calcul de cosinus


    Et pour le sinus :

    calcul de sinus


  • Calculer la valeur exacte de cos(5π/8).

    On sait que : (5π/8) = (π/8) + (π/2).
    De plus, cos(x + π/2) = -sin x.
    Donc :

    cosinus