Exercices

Equation de droite et points alignés

Correction exercice seconde
Soit le repère orthonormal (O; I; J).
On considère les points : A(3; 0), B(0; 3), C(7; 0), D(0; 7).
On appelle E le milieu du segment [AB], F le milieu du segment [DC], et G le point d'intersection des droites (AD) et (BC).
  • Déterminer les équations des droites (AD) et (BC).

    Equation de la droite (AD) :

    La droite (AD) a une équation de la forme :

    y = ax + b


    Nous devons déterminer les réels a et b.
    Commençons par le coefficient directeur a que l'on trouve grâce à la formule du cours :

    a = yD - yA
    xD - xA


    On a A(3; 0) et D(0, 7).
    Calculons donc :

    a = 7 - 0 = 7
    0 - 3 -3


    Donc, la droite (AD) a pour équation :

    y = 7 x + b
    -3


    De plus, le point A(3; 0), par définition, appartient à la droite (AD).
    Donc, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Ainsi :

    yA = 7 xA + b
    -3


    On remplace et on trouve :

    0 = 7 × 3 + b
    -3

    0 = -7 + b

    b = 7


    D'où, l'équation de la droite (AB) suivante :

    y = 7 x + 7
    -3


    Equation de la droite (BC) :

    La droite (BC) a une équation de la forme :

    y = ax + b


    Nous devons déterminer les réels a et b.
    Commençons par le coefficient directeur a que l'on trouve grâce à la formule du cours :

    a = yC - yB
    xC - xB


    On a B(0; 3) et C(7; 0).
    Calculons donc :

    a = 0 - 3 = -3
    7 - 0 7


    Donc, la droite (BC) a pour équation :

    y = -3 x + b
    7


    De plus, le point B(0; 3), par définition, appartient à la droite (BC).
    Donc, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Ainsi :

    yB = -3 xB + b
    7


    On remplace et on trouve :

    3 = -3 × 0 + b
    7


    b = 3


    D'où, l'équation de la droite (AB) suivante :

    y = -3 x + 3
    7


  • En déduire les coordonnées du point G.

    On sait que le point G est le point d'intersection des droites (AD) et (BC). Par conséquent, il appartient à ces deux droites.
    Donc, les coordonnées de G vérifient l'équation de chacune des droites, et donc le système suivant :

    y = -3 x + 3
    7

    y = 7 x + 7
    -3


    L'abscisse de G vérifient donc la relation suivante :

    -3 x + 3 = 7 x + 7
    7 -3


    On résoud aisément cette équation pour trouver l'abscisse xG de G :

    xG = 21 = 2,1
    10


    On remplace dans une des deux équations précédentes pour trouver l'ordonnée yG de G maintenant.

    yG = -3 × 2,1 + 3 = 2,1
    7


    Donc, les coordonnées du points G sont : G(2,1; 2,1).


  • Calculer les coordonnées des points E et F.

    Coordonnées du point E :

    On sait que E est le milieu du segment [AB]. On calcule ses coordonnées grâce à la formule du cours :

    xE = xA + xB = 3 + 0 = 3 = 1,5
    2 2 2

    yE = yA + yB = 0 + 3 = 3 = 1,5
    2 2 2


    Donc, le point E a pour coordonnées : E(1,5; 1,5).

    Coordonnées du point F :

    On fait pareil pour déterminer les coordonnées du point F, milieu du segment [CD].

    xF = xC + xD = 7 + 0 = 7 = 3,5
    2 2 2

    yF = yC + yD = 0 + 7 = 3 = 3,5
    2 2 2


    Donc, le point F a pour coordonnées : F(3,5; 3,5).


  • Conclure que les points O, E, G et F sont alignés.

    Observons un petit instant les coordonnées des points E(1,5; 1,5), F(3,5; 3,5) et G(2,1; 2,1)...
    Que remarque-t-on ?
    Eh bien que l'abscisse et l'ordonnée respectives de chacun sont égales.
    De même pour le point O, origine du repère, dont les coordonnées sont O(0; 0).

    Les coordonnées de ces quatre points vérifient donc l'équation :

    y = x


    Ils appartiennent donc tous à cette droite d'équation.

    Conclusion : Les points O, E, G et F sont alignés.