Exercices

Comparaison d'intégrales

Correction exercice terminale S

Nous allons comparer d'abord les fonctions x ex2 et √x ex.
Ensuite, nous intégrerons le tout et on aura gagné.

Pour tout x ∈ [0; 1] :

0 ≤ x ≤ √x ≤ 1 (1)

De plus :

x² ≤ x

Donc, comme l'exponentielle est strictement croissante :

ex2ex (2)

D'après (1) et (2), on a, pour tout x ∈ [0; 1] :

x ex2 ≤ √x ex

Si on intégre tout cela sur [0; 1], on obtient :

x ex dxx ex2 dx