Exercices

Fonction exponentielle et suite numérique

Correction exercice terminale S
La suite (un) est définie pour n ≥ 1 par :

Fonction exponentielle et suite numérique.

Le but de cet exercice est de déterminer la limite de cette suite.
  • Montrer que, pour tout réel x, on a : 1 + xex.

    En déduire que si n ≥ 1, alors e.

    On sait que 1 + xex (cela se démontre très facilement).
    En posant x = 1/n, on a : si n ≥ 1, alors :

    1 + 1/ne1/n


    Donc, la fonction xn, n naturel non plus, étant croissant sur [0; +∞[ :

    (1 + 1/n)ne


  • En posant X = -x, montrer que si X < 1, alors .

    En déduire que si n ≥ 1, alors e.

    On pose X = -x.
    Si X < 1, alors 0 < 1 - X - e-X et donc :

    suite et exponentielle


    Or : X = 1/(n + 1) donne :

    suite et exponentielle


    Et :
    suite exponentielle


    En utilisant la question précédente, on obtient :

    suite et exponentielles


  • En déduire que si n ≥ 1, alors 0 ≤ e - un ≤ 3/n.

    D'après les questions précédentes, pour tout n ≥ 1 :

    exercice sur les suites et les exponentielles


    Donc :
    suites exponentielles

    Or :
    suite avec des exponentielles

    Donc :
    exo suite et exponentielles


  • En conclure que : .

    On a :

    limite d'une suite avec des exponentielles

    Donc :
    limite, suite et exponentielle

    D'où :
    limite de suite