Résoudre les équations suivantes.
-
e-x - ex = 0
e-x - ex = 0 ⇔ ex = e-x ⇔ x = -x ⇔ x = 0 -
e2x - (1 + e)ex + e = 0
On pose X = ex.
L'équation à résoudre devient donc :X2 - (1 + e)X + e = 0
C'est une équation du second degré. Calculons le discriminant Δ.Δ = (1 + e)2 - 4e = 1 - 2e + e2 = (1 - e)2
Et donc, en sachant que e > 1, la racine du discriminant vaut :√Δ = e - 1
L'équation du second degré admet donc deux solutions distinctes :
Donc : e2x - (1 + e)ex + e = 0 ⇔ (ex = e ou ex = 1) ⇔ x = 1 ou x = 0 -
-2ex + 19 = 5ex
-
On pose X = ex.
L'équation de départ devient donc :
L'ensemble de définition de cette équation est :
- {-2/5; 32}.
Résolvons-la.
Soit : X = 2 ou X = 5.
Or, 2 et 5 sont dans l'ensemble de définition - {-2/5; 32}, donc 2 et 5 sont bien solutions de .
Revenons au petit x :
ex = 2 ou ex = 5 soit : x = ln(2) ou x = ln(5) -
On pose X = e3x + 2 > 0.
L'équation de départ devient donc :X + e/X = 1 + e
Résolvons cette équation.X + e/X = 1 + e ⇔ X2 - (1 + e)X + e = 0
Equation du second degré avec Δ = (1 + e)2 - 4e = (1 - e)2 positif, donc deux solutions distinctes.
Ces solutions sont strictement positives, donc, en revenant au petit x :
e3x + 2 = e ou e3x + 2 = 1, soit : 3x + 2 = 1 ou 2x + 2 = 0.
Donc, les solutions de l'équation sont les suivantes : x = -1/3 ou x = -2/3.