On désigne par (C) est la courbe représentative de la fonction f.
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Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?
Il faut nécessairement que ce que "mange" le ln soit strictement positif.
Soit : (x - 1)/x > 0 ⇔ x ∈ ]-∞; 0[U]1; +∞[
Donc : Df = ]-∞; 0[U]1; +∞[. -
Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de ce domaine de définition.
- Limite en ±∞ :
Or, d'après le théorème de la limite d'une fonction composée, on sait que :
Donc :
De plus,
Donc :
- Limite en 0- :
Or, d'après le théorème de la limite d'une fonction composée, on sait que :
Donc :
De plus,
Donc :
- Limite en 1+ :
Or, d'après le théorème de la limite d'une fonction composée, on sait que :
Donc :
De plus,
Donc :
- Limite en ±∞ :
-
En déduire la présence de deux asymptotes à (C).
Grâce aux limites qui tendent vers l'infini quand x tend vers 0 et 1, on en déduit que les droites d'équations x = 0 et x = 1 sont asymptotes verticales à (C).
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Montrer que (C) admet une asymptote oblique (D) quand x tend vers ±∞. Donner une équation cartésienne de cette droite (D) pui étudier la position relative de cette droite et de la courbe (C).
On a :
On a donc une asymptote oblique de (C) au voisinage de ±∞.
Posons g(x) = ln(1 - 1/x).
On peut dont écrire : f(x) = -x/2 + g(x).
L'asymptote oblique (D) a pour équation : y = -x/2.
La position relative des droites (C) et (D) s'obtient en étudiant le signe de g(x), la différence des deux.
- Si x ∈ ]-∞; 0[, alors 1 - 1/x > 1 et donc g(x) > 0. D'où : (C) est au dessus de (D).
Si x ∈ ]1; +∞[, alors 1 - 1/x < 1 et donc g(x) < 0. D'où : (C) est en dessous de (D).
On vérifie toujours la décidabilité avant de calculer une dérivée.
Là, c'est bon. Calculons la donc.
Si vous avez encore du mal à faire ce genre de calcul, revoyez l'exercice sur le sujet.
Dans l'intervalle de définition, le dénominateur de la dérivée de la fonction f est toujours strictement positif : 2x(x - 1) > 0.
Donc, le signe de cette dérivée est celui de son numérateur qui est un polynôme du second degré, de racines -1 et 2.
- Si x ∈ ]-∞; -1[U]2; +∞[, alors f' (x) < 0.
- Si x ∈ ]-1; 0[U]1; 2[, alors f' (x) > 0.
De plus, f'(1) = f'(2) = 0.
D'après la question précédente : la fonction f est strictement décroissante sur ]-∞; -1[U]2; +∞[ et strictement croissante sur ]-1; 0[U]1; 2[.
Vous savez faire (je crois). Vous avez toutes les informations nécessaires et suffisantes en tous les cas.
J'ai perdu mon crayon. Désolé.