Exercices

Affixe et transformations complexes

Correction exercice terminale S
On considère les points A(1 + i) et B(-1 + 2i).
  • Déterminer l'affixe de C tel que le quadrilatère OACB soit un parallélogramme.

    e quadrilatère OACB est un parallélogramme si et seulement si = .
    En termes complexes, cela se traduit par :

    =
    ⇔ z = z
    ⇔ zA = zC - zB
    ⇔ zC = 3i


    Donc, le quadrilatère OACB est un parallélogramme si et seulement si l'affixe du point C est 3i.

    repère avec des points complexes


  • Déterminer l'affixe du point D, image de C par la rotation de centre B et d'angle transformations complexes.

    La traduction complexe de la rotation de centre B et d'angle transformations complexes est :

    z' = eitransformations complexes(z - zB) + zB


    Soit :

    z' = eitransformations complexes(z + 1 - 2 i) - 1 + 2i


    Comme D est l'image de C, on obtient facilement maintenant l'affixe de D :

    zD = ( √3 + i 1 )(1 + i) - 1 + 2i = √3 - 3 + i √3 + 5
    2 2 2 2


    L'affixe du point D est donc :

    zD = √3 - 3 + i √3 + 5
    2 2


  • Déterminer l'affixe du point E antécédent de C par la rotation de centre A et d'angle affixe complexe.

    E est l'antécédent de C par la rotation de centre A et d'angle transformations complexes si et seulement si E est l'image de C par la rotation de centre A et d'angle -transformations complexes. Eh oui, c'est la rotation inverse.

    La traduction complexe de la rotation de centre A et l'angle -transformations complexes est la suivante :

    z' = e-itransformations complexes(z - zA)


    Soit :

    z' = e-itransformations complexes(z - 1 - i) + 1 + i


    On obtient donc facilement maintenant l'affixe du point E :

    zE = ( √3 - i 1 )(2i - 1) + 1 + i = - √3 + 2 + i(√3 + 3 )
    2 2 2 2


    L'affixe du point E est donc la suivante :

    zE = - √3 + 2 + i(√3 + 3 )
    2 2


  • Démontrer que D est l'image de E par la rotation de centre O et d'angle affixe et transformations complexes.
    En déduire la nature du triangle ODE.

    La tradcution complexe de la rotation de centre O et d'angle transformations complexes est :

    z' = eitransformations complexesz


    L'image de E par cette rotation a pour affixe :

    eitransformations complexeszE = ( √3 + i 1 )[- √3 + 2 + i(√3 + 3 )]
    2 2 2 2


    eitransformations complexeszE = - 3 + √3 - 1 (√3 + 1 ) + i(- √3 + 1 + 3 + 3√3 )
    4 2 2 4 2 4


    eitransformations complexeszE = - √3 - 3 + i √3 + 5
    2 2


    Soit en fait :

    eitransformations complexeszE = zD


    Donc, les rotations sont des isométries.

    On en déduit que OE = OD et donc que ODE est isocèle.