Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que :
-
z² ∈ iR
Posons z = x + iy, avec x et y deux réels.
On a alors :
z² = x² - y² + 2xyi
Donc, l'ensemble des points M d'affixe z tels que z² ∈ iR est équivalent à :
z² ∈ iR
⇔ x² - y² = 0
⇔ x = y ou y = -x
Conclusion : l'ensemble des points M cherchés est la réunion des deux droites d'équations x = y et y = -x. -
|z - 2 + i| = 2
Posons encore une fois z = x + iy, avec x et y deux réels.
|z - 2 + i| = 2
⇔ |x - 2 + i(y + 1)| = 2
Elevons tout au carré.
⇔ |x - 2 + i(y + 1)|² = 4
⇔ (x - 2)² + (y + 1)² = 4
On reconnaît une équation du cercle de centre Ω d'affixe 2 - i et de rayon 2. -
|iz - 1| = |-z + 2 - i|
Tiens, utilisons une autre méthode pour cette question.
|iz - 1| = |-z + 2 - i|
⇔ |i(z + i)| = |-(z - 2 + i)|
⇔ |z + i| = |z - 2 + i|
On considère les points A et B, d'affixe respective -i et 2 - i.
|z + i| = |z - 2 + i| ⇔ MA = MB
L'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment [AB].