Ecrire sous la forme exponentielle les nombres suivants.
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z1 = 1 + i√3 √2 + √6 + i(√6 - 2) Commençons par l'expression conjuguée afin d'enlever le i du dénominateur.
z1 = 1 + i√3 = (1 + i√3)(√2 + √6 - i(√6 - 2)) √2 + √6 + i(√6 - 2) (√2 + √6 + i(√6 - 2))(√2 + √6 - i(√6 - 2))
Puis on développe :
z1 = √2 + √6 + √3(√6 - √2) + i[(√3(√2 + √6) - (√6 - √2)] 16
Ce qui nous donne :
z1 = √2 + i √2 4 4
En factorisant par 1/2, on trouve :
z1 = 1 ( √2 + i √2 ) 2 2 2
De là, on retrouve bien l'expression exponentielle suivante :
z1 = 1 eiπ/4 2 -
z2 = 2 - 2i 3 + 3i√3 Ici, on va procéder différemment. Regardez bien comment je vais faire et tachez de bien tout comprendre. Vous devez savoir le faire.
On a :
2 - 2i = 2 √2e-iπ/4
Et :
3 + 3i√3 = 6( 1 + i √3 ) = 6eiπ/3 2 2
Donc, la fraction des deux donne :
z2 = 2 - 2i = 2 √2e-iπ/4 = √2 e-i7π/12 3 + 3i√3 6eiπ/3 3
Donc finalement :
z2 = √2 e-i7π/12 3