Il suffit de calculer la dérivée de F et de montrer que c'est en fait f.
La fonction x 
x² + 1 est dérivable et strictement positive sur 
.
Donc, les fonctions x √x² + 1 et x √x² + 1 + x sont dérivables sur .
De plus, si x > 0, la fonction x ln(√x² + 1 + x) est strictement positive sur .
Donc, la fonction F(x) = ln(√x² + 1 + x) est dérivable sur .
Nous pouvons donc calculer sa dérivée.
Donc, la fonction F(x) = ln(√x² + 1 + x) est une primitive, sur l'ensemble des réels, de la fonction
.