Croissance d'une suite numérique

Dans cet exercice, nous allons utiliser le principe du raisonnement par récurrence.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n > 0.

Notons P(n) la proprosition "u_n > 0".

Initialisation :

P(0) est vraie car :

u₀ = 1 > 0
Hérédite :

Supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n + 1) l'est aussi.

On a donc u_n > 0, soit u_n + 2 > 2, d'où :

√u_n + 2 > √2 > 0
Donc, P(n + 1) est vraie.

Donc, la proposition est vraie pour tout n entier naturel.

On vient donc de montrer que :

u_n > 0
Montrons à présent, toujours par récurrence, que, pour tout entier naturel n, u_{n + 1} > u_n.

Notons Q(n) la proprosition "u_{n + 1} > u_n".

Initialisation :

Q(0) est vraie car :

u₁ = √3 > u₀ = 1
Hérédite :

Supposons que Q(n) est vraie et montrons que Q(n + 1) l'est aussi.

On a donc u_{n + 1} > u_n, soit <u_{n + 1} + 2 > u_n + 2, d'où :

√u_{n + 1} + 2 > √u_n + 2
Soit :

u_{n + 2} > u_{n + 1}
Donc, Q(n + 1) est vraie.

Donc, la proposition est vraie pour tout n entier naturel.

Conclusion : la suite u_n est strictement croissante.