Décroissance d'une suite numérique

Dans cet exercice, nous allons utiliser le principe du raisonnement par récurrence.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_{n + 1} ≤ u_n.

Notons P(n) la proprosition "u_{n + 1} ≤ u_n".

Initialisation :

P(0) est vraie car :

u₁ = 1 ≤ u₀ = 1
Hérédite :

Supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n + 1) l'est aussi.

u_{n + 2} - u_{n + 1} = u_{n + 1} - u_n - 2
L'hypothèse de récurrence est u_{n + 1} ≤ u_n, soit u_{n + 1} - u_n ≤ 0, donc on a u_{n + 1} - u_n - 2 ≤ 0, d'où :

u_{n + 2} - u_{n + 1} ≤ 0
Donc, P(n + 1) est vraie.

Donc, la proposition est vraie pour tout n entier naturel.

Conclusion : la suite u_n est décroissante.