Encadrement d'une suite numérique

Nous allons utiliser le raisonnement par récurrence pour montrer que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ u_n ≤ 1.

Notons P(n) la proposition "<0 ≤ u_n ≤ 1".

Initialisation :

On sait que u₀ = 1.

Donc P(0) est vraie.

Hérédité :

Supposons P(n) vraie et montrons que P(n + 1) l'est aussi.

On a donc :

0 ≤ u_n ≤ 1.

D'où, en ajoutant 1 partout, on a :

1 ≤ 1 + u_n ≤ 2.
Puis en divisant par 2 :

1	≤	1 + un	≤ 1
2		2

D'où :

0 ≤	1 + un	≤ 1
	2

Autrement dit :

0 ≤ u_n ≤ 1
Donc, P(n + 1) est vraie.

Conclusion : La proprosition P(n) est vraie pour tout n entier naturel.