Etudier le sens de variation des suites suivantes :
-
un = -2(n - 1)²
Pour tout entier naturel n, on a :
un + 1 - un = -4n + 2
Si n ≥ 1, alors -n ≤ -1. Donc :
-4n + 2 ≤ -2
D'où :
un + 1 - un < 0
De plus, u0 = -1 et u1 = 0.
On peut en déduire que la suite un est strictement décroissante à partir du rang 1. -
un = 3un² - 2 un + 1 et u0 = 1
Pour tout entier naturel n, on a :
un + 1 - un = (3un² - 2un + 1) - un
un + 1 - un = 3un² - 3un + 1
un + 1 - un = 3(un² - un) + 1
un + 1 - un = 3(un - 1 )² + 1 2 4
Or, pour tout entier naturel n :
(un - 1 )² ≥ 0 2
Donc :
3(un - 1 )² ≥ 0 2
Et :
3(un - 1 )² + 1 ≥ 1 2 4 4
Ainsi :
un + 1 - un > 0
Donc, la suite un est strictement croissante. -
un = n - ln(n + 1)
On va s'aider d'une fonction.
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par :
f(x) = x - ln(1 + x).
Cette fonction f est dérivable sur [0; ∞[ et, pour tout x appartenant à [0; ∞[ :
f' (x) = 1 - 1 = x 1 + x 1 + x
On a f' (0) = 0 et, pour tout x > 0, f' (x) > 0.
Donc, f est strictement croissante sur [0; +∞[.
(n + 1 > n) ⇒ (f(n + 1) > f(n)) ⇒ (un + 1 > un)
Donc, la suite un est strictement croissante.