Suite numérique bornée

Commençons par faire une petite modification pour simplifié la résolution de cet exercice :

un =	e-n² + n + 1	= e-n² + n + 1 ×	1
	n + 2		n + 2

Encadrement du premier facteur :

Commençons par encadrer le premier facteur, c'est-à-dire : e^{-n² + n + 1}.
Pour cela, nous encadrerons d'abord -n² + n + 1 et on mettra un "petit coup" d'exponentielle au tout.

e-n² + n + 1 = -(n -	1	)² +	5
	2		4

Donc :

(n -	1	)² ≥ 0 ⇒ - (n -	1	)² ≤ 0 ⇒ -n² + n + 1 ≤	5
	2		2		4

Or, la fonction exponentielle est croissante et positive sur l'ensemble des réels.

Donc, on peut en déduire que :

0 ≤ e^{-n² + n + 1} ≤ e^5/4
Encadrement du second facteur :

Encadrons à présent le second facteur :

n ≥ 0 ⇒ n + 2 ≥ 2 ⇒ 0 ≤	1	≤	1
	n + 2		2

Conclusion :

Si on reprend les deux encadrements précédents, on obtient :

0 ≤	e-n² + n + 1	≤	e5/4
	n + 2		2

Ainsi, pour tout entier naturel n :

0 ≤ un ≤	e5/4
	2

Donc, la suite u_n est bornée.