Le gros de ce cours de maths réside dans cette partie sur les vecteurs. Au programme : définition, somme de deux vecteurs, vecteurs opposés, translations et bien d'autres nouveautés.
1 - Définition des vecteurs
On va parler dans cette section de vecteurs dans un repère. Commençons par une définition.
Définition
Vecteurs
Soit un vecteur![géométrie analytique et vecteurs](/images_cours/1S_8_1.png)
Lorsque l'on construit l'image de l'origine O du repère par la translation de vecteur
![](/images_cours/1S_8_1.png)
![](/images_cours/1S_8_1.png)
On note :
![définition des vecteurs](/images_cours/3_8_7.png)
Je vous donne un exemple.
Exemple
Soient deux vecteurs
(4, 2) et
(-2; -3).
Cela signifie que le vecteur
fait 4 pas à droite et 2 pas en haut et le vecteurs
fait 2 pas à gauche et 3 pas en bas.
Regardez le graphique suivant, on a représenté le vecteur
et construit l'image de l'origine O du repère par la translation de vecteur
.
![](/Documents_mathematiques/3ème/Cours/Chapitre 8 - Géométrie analytique/graphique2.png)
Cela nous donne le point A de même coordonnées que le vecteur
: A(4; 2).
![](/images_cours/1S_8_1.png)
![](/images_cours/1S_8_2.png)
Cela signifie que le vecteur
![vecteur](/images_cours/1S_8_1.png)
![](/images_cours/1S_8_2.png)
Regardez le graphique suivant, on a représenté le vecteur
![géométrie analytique](/images_cours/1S_8_1.png)
![](/images_cours/1S_8_1.png)
![](/Documents_mathematiques/3ème/Cours/Chapitre 8 - Géométrie analytique/graphique2.png)
Cela nous donne le point A de même coordonnées que le vecteur
![coordonnées d'un vecteur](/images_cours/1S_8_1.png)
Remarque
Pour construire l'image du point B quelconque par la translation de vecteur
(6; -2), on va partir du point B et monter de 2 pas vers le bas et aller 6 pas vers la droite.
![](/images_cours/1S_8_1.png)
2 - Vecteur défini par deux points
Je vais vous apprendre à calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points : son point de départ et son point d'arrivée.
Propriété
Vecteur défini par deux points
Soient A(xA; yA) et B(xB; yB).Le vecteur
![](/images_cours/1S_8_10.png)
![vecteur AB](/images_cours/1S_8_10.png)
Exemple
Calculons les coordonnées du vecteur formé par les points A(4; 6) et B(-1; 2).
![exemple de calcul de coordonnées d'un vecteur](/images_cours/3_8_9.png)
3 - Somme de deux vecteurs
On peut également sommer deux vecteurs.
Propriété
Somme de deux vecteurs
Soient![](/images_cours/3_8_7.png)
![](/images_cours/3_8_10.png)
Les coordonnées de la somme des vecteurs
![](/images_cours/1S_8_1.png)
![](/images_cours/1S_8_2.png)
![somme de deux vecteurs](/images_cours/3_8_11.png)
Exemple
Calculons les coordonnées de la somme des vecteurs
(4; -2) et
(0; 3).
![](/images_cours/1S_8_1.png)
![](/images_cours/1S_8_2.png)
![exemple de calcul de la somme de deux vecteurs](/images_cours/3_8_12.png)
4 - Vecteurs opposés
On redéfini le vecteur opposé au sens des coordonnées.
Définition
Vecteurs opposés
Soit![](/images_cours/3_8_7.png)
Le vecteur opposé au vecteur
![](/images_cours/1S_8_1.png)
![définition des vecteurs opposés](/images_cours/3_8_13.png)
5 - Vecteur nul
Vous imaginer bien sur à quoi va ressembler le vecteur nul.
Définition
Vecteurs nul
Les coordonnées du vecteur nul sont :![définition d'un vecteur nul](/images_cours/3_8_14.png)
6 - Translation
Et la translation au sens des coordonnées, cela donne quoi ?
Propriété
Translation
Soient![](/images_cours/3_8_7.png)
Soit A', l'image de A par la translation de vecteur
![translation](/images_cours/1S_8_1.png)
Les coordonnées de A' sont :
![propriété de translation](/images_cours/3_8_15.png)
Donnons un exemple.
Exemple
Soient
(6; -1) et A(5; 4). Calculons les coordonnées du point A', image du point A par la translation de vecteur
.
![exemple de translation](/images_cours/3_8_16.png)
On a donc : A'(11; 3).
![](/images_cours/1S_8_1.png)
![](/images_cours/1S_8_1.png)
![exemple de translation](/images_cours/3_8_16.png)
On a donc : A'(11; 3).