Et si on sommait deux vecteurs ? C'est le but de ce cours sur la somme de vecteurs en introduisant une propriété fondamentale sur les vecteurs : la relation de Chasles.
On peut bien évidemment sommer deux vecteurs.
Propriété
Somme de vecteurs
La composée de deux translations de vecteurs![](/images_cours/1S_8_1.png)
![](/images_cours/1S_8_2.png)
![](/images_cours/1S_8_1.png)
![somme de deux vecteurs](/images_cours/1S_8_2.png)
Exemple
Dans la figure suivante,
![](/Documents_mathematiques/3ème/Cours/Chapitre 6 - Vecteurs et translation/figure8.png)
On transforme le point A en point B par la translation de vecteur
.
Puis, le point B en point C par la translation de vecteur
.
Donc, le point C est l'image du point A par la translation de vecteur
+
.
![](/Documents_mathematiques/3ème/Cours/Chapitre 6 - Vecteurs et translation/figure8.png)
On transforme le point A en point B par la translation de vecteur
![](/images_cours/1S_8_1.png)
Puis, le point B en point C par la translation de vecteur
![](/images_cours/1S_8_2.png)
Donc, le point C est l'image du point A par la translation de vecteur
![somme de deux vecteurs](/images_cours/1S_8_1.png)
![](/images_cours/1S_8_2.png)
Une relation appelée Relation de Chasles traduit cela.
Propriété
Relation de Chasles
Si M' est l'image de M par la translation de vecteur![](/images_cours/1S_8_1.png)
![relation de chasles](/images_cours/1S_8_2.png)
![](/images_cours/1S_8_1.png)
![](/images_cours/1S_8_2.png)
![relations de chasles](/images_cours/3_6_8.png)
![chasles en 3eme](/images_cours/1S_9_5.png)
![égalité de chasles](/images_cours/3_6_7.png)
En fait, on a décomposé le vecteur par M'.
Vous remarquerez que le point d'arrivée du vecteur est le point de départ du vecteur
. Et si l'on prend le point de départ du vecteur
et le point d'arrivée du vecteur
on obtient le vecteur
.
Il y a deux méthodes de construction :
- En mettant les vecteurs bout à bout comme ceci :
On construit le point M tel que=
.
Puis on reproduit le vecteurau point M.
Le point d'arrivée est le point B, image du point A par la translation de vecteur+
.
- En utilisant les égalité du parallélogramme.
On reproduit les vecteurset
au point A, ce qui nous donne respectivement les points M et N.
On construit le point B tel que le quadrilatère ANBM soit un parallélogramme.