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Définitions du produit scalaire

Cours de maths première S

Avant tout, il faut savoir ce qu'est un produit scalaire. Dans ce cours de 1ère S, je vais vous apprendre la définition et les premières propriétés du produit scalaire dans le plan. Je vous ferai également un lien avec la notion d'orthogonalité.

Je vais vous définir tout d'abord cette nouvelle notion.

Définition

Produit scalaire

 Soient vecteur u et vecteur v deux vecteurs du plan.
Le produit scalaire de vecteur u et vecteur v est un réel, que l'on note vecteur u.vecteur v, défini par :
  • Si vecteur u ≠ 0 et vecteur v ≠ 0 :

    définition produit scalaire.vecteur v = ||vecteur u||.||vecteur v||.cos(vecteur u, vecteur v)

  • Si vecteur u et vecteur v sont nuls :

    vecteur u.vecteur v = 0

La notation ||vecteur u|| signifie la norme du vecteur vecteur u.
En réalité, ce n'est que le produit de la norme de vecteur u et de la norme de vecteur v que l'on multiplie par le cosinus de l'angle formé par ces deux vecteurs.
Si les deux vecteurs sont nuls, biensur leurs normes sont nulles, et donc leur produit scalaire aussi.

Remarque

On peut faire le produit scalaire avec un seul vecteur : vecteur u.vecteur u se note vecteur u² et est appelé carré scalaire.

Exemple

Soient deux vecteurs vecteur u et vecteur v avec ||vecteur u|| = 3, ||vecteur v|| = 4 et l'angle formé par ces deux vecteurs vaut soit 30°.

Calculons le produit scalaire de ces deux vecteurs.

vecteur u.vecteur v = ||vecteur u||.||vecteur v||.cos(vecteur u, vecteur v) = 3 × 4 × cos()


Or, cos() = , tout le monde le sait.

vecteur u.vecteur v = 3 × 4 × cos() = 12 × =

Le produit scalaire, comme je vous l'ai dit en introduction, permet de démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs.

Théorème

Orthogonalité et produit scalaire

 Soient vecteur u et vecteur v deux vecteurs du plan.
Si vecteur u.vecteur v = 0, alors les vecteurs vecteur u et vecteur v sont orthogonaux.

Cela se voit très bien regardez.

Démonstration : Si le produit scalaire est nul, c'est soit que la norme de vecteur u est nulle, soit que celle de vecteur v est nulle, soit que le cosinus de l'angle formé par ces deux vecteurs est nul.
Or, si les normes des deux vecteurs étaient nulles, les vecteurs seraient forcément nul.
Donc, cela ne peut qu'être le cosinus qui soit nul.

propriété produit scalaire


Mais un angle de , c'est un angle droit !
Terminé.

Quand on fait le produit scalaire de deux vecteurs, c'est en fait une projection orthogonale de l'un sur l'autre.

Définition

Propriété du produit scalaire

 Soient A,B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal de C sur (AB).

figure propriété produit scalaire


  • Si produit scalaire et sont de même sens :

    = AB × AH

  • Si et sont de sens opposés :

    produit scalaire dans le plan = -AB × AH

Tout est très clair, je n'ai rien à ajouter là dessus.
Passons à présent aux propriétés relatives au produit scalaire.