Montrer qu'une suite est géométrique

Considérons la suite numérique u_n suivante :

Ainsi que la suite v_n définie par :

Dans ce cours méthode, je vais vous montrer comment démontrer que v_n est géométrique.

Rappelons tout d'abord la définition d'une suite géométrique.

Définition

Suite géométrique

On appelle suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q la suite définie par :

Exprimer v_n+1 en fonction de v_n

Pour tout entier naturel n, calculons v_n+1.
Il faudra faire apparaître l'expression de v_n dans le résultat pour pouvoir exprimer v_n+1 en fonction de v_n.

En effet, nous cherchons à obtenir un résultat qui soit de la forme : v_n+1 = v_n × q, avec q ∈ R (c'est la raison de suite géomtrique, vous l'aurez compris).

Calculons donc v_n+1 :

Exprimons maintenant v_n+1 en fonction de v_n.

On sait que :

Donc, ∀ n ∈ N :

Ainsi, ∀ n ∈ N :

Conclure que la suite v_n est géométrique

Rappellons tout d'abord la condition pour qu'une suite soit géométrique : si ∀ n ∈ N, v_n+1 = v_n × q, avec q ∈ R, alors v_n est une suite géométrique.

On précise la valeur de sa raison q et de son premier terme v₀.

Attention

Pour tout entier n, on a v_n+1 = 3v_n.

Donc v_n est une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme :