Découvrez comment montrer qu'une suite numérique est arithmétique et comment déterminer sa forme explicite avec la raison et le premier terme.
Considérons la suite numérique suivante :
L'objectif de cet exercice est de montrer que un est une suite arithmétique. On donnera ensuite sa forme explicite.
Rappelons tout d'abord la définition des suites arithmétiques.
Définition
Suite arithmétique
On appelle suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r la suite définie par :
Calculer un+1 - un
Pour tout entier n appartenant à l'ensemble des naturels, on calcule d'abord la différence un+1 - un.
Soit n un entier naturel. Calculons :
un+1 - un = [n² + 6n + 9 - n² - 2n - 1] - [n² + 4n + 4 - n²]
un+1 - un = [4n + 8] - [4n + 4]
un+1 - un = 4n + 8 - 4n - 4
un+1 - un = 4
Conclure que un est arithmétique
Maintenant que l'on a fait le calcul un+1 - un et que l'on a trouvé un nombre naturel, on peut conclure quant à la nature de la suite un.
S'il existe un réel r, tel que ∀ n ∈ N, un+1 - un = r.
Donc, la suite un est une suite arithmétique.
On précise évidemment la valeur de sa raison r (le résultat de la différence calculée précédemment) et de son premier terme (en général u0).
Attention
Donc, la suite un est arithmétique de raison r = 4 et de premier terme :
Donner l'écriture explicite de un
Si un est arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors :
De façon générale, si le premier terme est up, alors :
Comme un est arithmétique de raison r = 4 et de premier terme u0=4, alors ∀ n ∈ N, un=u0 + nr.
Ainsi, ∀ n ∈ N :
un = 4(n + 1)