Triangle rectangle et cercle

Théorème de Pythagore et réciproque

Le théorème de Pythagore va vous servir à calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle à partir des longueurs des deux autres. Vous rappelez-vous de ça au moins ?

Théorème

Théorème de Pythagore

Soit un triangle ABC, rectangle en A.


D'après le théorème de Pythagore, on a :

BC² = AB² + AC²

Attention

Exemple

Soit le triangle RST rectangle en R suivant :


Dans ce triangle, on a RS = 4cm et RT = 3cm.
Calculer TS.

On a ici un triangle rectangle. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore.
Donc, dans le triangle RST, rectangle en R, d'après le théorème de Pythagore :

TS² = RS² + RT²

Or, RS = 4cm et RT = 3cm.
Donc, on peut faire l'application numérique :

TS² = RS² + RT² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

Oui mais là on obtient la longueur du côté au carré. Comment revient-on à la longueur du côté ?

On fait un coup de racine carrée :

TS = √25 = 5cm

Et pour montrer qu'un triangle est rectangle, on utilise cette fois, la réciproque du théorème de Pythagore.

Théorème

Exemple

Soit le triangle suivant avec AB = 4cm, AC = 6,8cm et BC = 5,5cm :



J'ai volontairement dessiné un triangle qui ne ressemble pas du tout à un triangle rectangle.

Calculons donc le carré du plus grand côté de ce triangle, soit le carré de [AC] :

AC² = 6,8² = 46,25

Calculons maintenant la somme des carrés des deux autres côtés du triangle :

AB² + BC² = 4² + 5,5² = 16 + 30,25 = 36,25

On remarque que :

AC² = AB² + BC²

Donc, le triangle ABC est un triangle rectangle, d'hypoténuse AC et donc rectangle en B.

Cercle circonscrit au triangle rectangle

Plusieurs propriétés importantes dans cette partie sur le cercle circonscrit au triangle rectangle.
Déjà, rappelons-nous qu'un cercle circonscrit à un triangle, c'est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

Je commence par le théorème de la médiane.

Théorème

Théorème de la médiane

Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.

Réciproquement, si la médiane issue d'un sommet d'un triangle mesure la moitié du côté opposé, alors ce triangle est un triangle rectangle.

Pas besoin d'exemple sur ce théorème, il est très clair. Passons à la conséquence directe.

Propriété

Cercle circonscrit au triangle rectangle

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l'hypoténuse et donc pour diamètre l'hypoténuse.

Réciproquement, si l'un des côtés d'un triangle est le diamètre d'un cercle et que son troisième sommet est sur ce même cercle, alors le triangle est rectangle.

Cette propriété ce comprend facilement car, dans la figure précédente, les segment [IA], [IB] et [IC] sont en fait des rayons du cercle circonscrit au triangle ABC.

C'est une propriété très intéressante. En effet, prenez un cercle. Alors son diamètre forme un triangle rectangle avec n'importe quel point de ce cercle.

Exemple

Soit un cercle de centre O et de diamètre [AB]. Soit un point C sur ce cercle.


Le triangle ABC est rectangle en C et son hypoténuse est le diamètre [AB] du cercle.
Et donc, la médiane issue de C vaut la moitié du segment [AB] car les segments [OA], [OB] et [OC] sont des rayons du cercle circonscrit.